2.2 解令，
則∴解得 ∴∴
∴表2-2中的數字填寫如下：
表2-2
2.3 解 （1）對偶問題為
(2)對偶問題為
2.4 解 （1）錯誤。原問題存在可行解，對偶問題可能存在可行解也可能無可行解。
（2）錯誤。線性規劃的對偶問題無可行解，則原問題可能無可行解也可能為無界解。
（3）正確。反證如下，假設該問題無最優解，則必為無界解，由無界性定理知對偶問題應該無可行解，矛盾。
2.6 解該問題的對偶問題為
由互補鬆弛性：若分別是原問題和對偶問題的可行解，那麼，當且僅當為最優解。
設為原問題的最優解。
其中為原問題約束條件的鬆弛變數。而
為對偶問題的最優解。
其中為與(1)(2)(3)(4)相對應的鬆弛變數。
∴ 且
∵∴(3)(4)為等式，故
(1)(2)為不等式，故由即得
∵由即得
即原問題的約束條件應取等號
∴ 解得
所以，原問題的最優解為
目標函式最優值
2.7 解 （1）令，將上述問題轉化為如下形式
對於此線性規劃問題，列出初始單純形表，利用對偶單純形法求解，見表2-3
表2-3
由表2-3可得原線性規劃問題的最優解
目標函式最優值
（2）令，將上述問題轉化為如下形式
對於此線性規劃問題，列出初始單純形表，利用對偶單純形法求解，見表2-4
表2-4
由表2-4可得
原線性規劃問題的最優解
目標函式最優值
2.8 解將原問題劃為標準形式得
對於此線性規劃問題，用單純形法進行求解，見表2-5
表2-5
由表2-5可知，原線性規劃問題的最優解為，目標函式的最優值。∵非基變數的檢驗數，∴原線性規劃問題有無窮多最優解。
（1） 約束變數的右端常數由20變為30，則
∴在表2-4的基礎上，列出單純形表，對於此問題，由於檢驗數均為非正，而初始解為非可行解，所以用對偶單純形法進行求解。見表2-6
表2-6
由表2-6可知，線性規劃問題的最優解發生了變化，其最優解為，目標函式的最優值為。
（2） 約束條件的右端常數由90變為70
∴在表2-5的基礎上列出單純形表，對於此問題，由於檢驗數均為非正，而初始解為非可行解，所以用對偶單純形法進行求解，見表2-7
表2-7
由表2-7可知，線性規劃問題的最優解發生了變化，其最優解為，目標函式的最優值為。
（3） 目標函式中的係數由13變為8，由表2-5可知：為非基變數，此時其檢驗數 ，所以線性規劃問題的最優解不變。
（4）的係數列向量由變為， 由表2-5知：為非基變數，此時其檢驗數，所以線性規劃問題的最優解不變。
(5) 增加乙個約束條件
首先，增加約束條件表明以前的單純形迭代還是有效的，即原來的約束方程組進行了多次等價變換，所以增加約束條件，就只要增加基變數，然後將基變數的係數矩陣化為單位矩陣，重新計算非基變數的檢驗數。
在式加入鬆弛變數得，顯然可以作為增加的基變數。在表2-5的基礎上加入上述約束條件後用對偶單純形表進行求解，見表2-8
表2-8
由表2-8可知，線性規劃問題的最優解發生了變化，其最優解為 ，目標函式的最優值為。
(6) 將原約束條件改為
這種情況也可以將不等式約束化為等式約束後，用原來的最優基矩陣的逆去乘，看看結果如何？本習題比較特殊，雖然改變了乙個約束條件，但是原來的最優基並沒有改變，所以原來的最優基還是新問題的基，問題就相對容易了。
並未發生變化 ∴
並未發生變化。
故線性規劃問題的最優解不發生變化。
第二章運籌學線性規劃
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