第二章訊號的描述與分析
補充題2-1-1 求正弦訊號的均值、均方值和概率密度函式p(x)。
解答：(1)，式中—正弦訊號週期
(2)(3)在乙個週期內
2-8 求余弦訊號的絕對均值和均方根值。
2-1 求圖示2.36所示鋸齒波訊號的傅利葉級數展開。
2-4週期性三角波訊號如圖2.37所示，求訊號的直流分量、基波有效值、訊號有效值及訊號的平均功率。
2-1 求圖示2.36所示鋸齒波訊號的傅利葉級數展開。
補充題2-1-2 求週期方波（見圖1-4）的傅利葉級數（復指數函式形式），劃出|cn|–ω和φn–ω圖，並與表1-1對比。
解答：在乙個週期的表示式為
積分區間取（-t/2，t/2）
所以復指數函式形式的傅利葉級數為
，。沒有偶次諧波。其頻譜圖如下圖所示。
2-5 求指數函式的頻譜。
解：2-6 求被截斷的余弦函式(見圖1-26)的傅利葉變換。
解：w(t)為矩形脈衝訊號
所以根據頻移特性和疊加性得：
可見被截斷余弦函式的頻譜等於將矩形脈衝的頻譜一分為二，各向左右移動f0，同時譜線高度減小一半。也說明，單一頻率的簡諧訊號由於截斷導致頻譜變得無限寬。
2-6求被截斷的余弦函式cosω0t（題圖1-2）的傅利葉變換。
解2-7 求指數衰減訊號的頻譜
解：所以 單邊指數衰減訊號的頻譜密度函式為
根據頻移特性和疊加性得：
2-9 求h(t)的自相關函式。
解：這是一種能量有限的確定性訊號，所以
2-10 求方波和正弦波（見圖5-24）的互相關函式。
解法1：按方波分段積分直接計算。
解法2：將方波y(t)展開成三角級數，其基波與x(t)同頻相關，而三次以上諧波與x(t)不同頻不相關，不必計算，所以只需計算y(t)的基波與x(t)的互相關函式即可。
所以解法3：直接按rxy()定義式計算(參看下圖)。
參考上圖可以算出圖中方波y(t)的自相關函式
2-11 某一系統的輸人訊號為x(t)（見圖5-25），若輸出y(t)與輸入x(t)相同，輸入的自相關函式rx()和輸入—輸出的互相關函式rx()之間的關係為rx()=rxy(+t)，試說明該系統起什麼作用？
解：因為rx()=rxy(+t)
所以所以x(t+)=y(t++t)
令t1 = t++t，代入上式得
x(t1 - t)=y(t1)，即y(t) = x(t - t)
結果說明了該系統將輸入訊號不失真地延遲了t時間。
2-12 已知訊號的自相關函式為acos，請確定該訊號的均方值x2和均方根值xrms。
解：rx()=acos
x2= rx(0)=a
2-13已知某訊號的自相關函式，求均方值 、和均方根值。
2-14已知某訊號的自相關函式，求訊號的均值、均方根值 、功率譜。
2-15已知某訊號的自相關函式，求訊號的自功率譜。
解：取樣序列x(n)
2-18 對三個正弦訊號x1(t)=cos2t、x2(t)=cos6t、x3(t)=cos10t進行取樣，取樣頻率fs=4hz，求三個取樣輸出序列，比較這三個結果，畫出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及取樣點位置，並解釋頻率混疊現象。
取樣輸出序列為：1，0，-1，0，1，0，-1，0，
取樣輸出序列為：1，0，-1，0，1，0，-1，0，
取樣輸出序列為：1，0，-1，0，1，0，-1，0，
從計算結果和波形圖上的取樣點可以看出，雖然三個訊號頻率不同，但取樣後輸出的三個脈衝序列卻是相同的，這三個脈衝序列反映不出三個訊號的頻率區別，造成了頻率混疊。原因就是對x2(t)、x3(t)來說，取樣頻率不滿足取樣定理。
2- 19假定有乙個訊號x(t)，它由兩個頻率、相角均不相等的余弦函式疊加而成，其數學表示式為 x(t)=a1cos(1t+1)+ a2cos(2t+2) 求該訊號的自相關函式。
解：設x1(t)=a1cos(1t+1)；x2(t)= a2cos(2t+2)，則
因為12，所以，。又因為x1(t)和x2(t)為週期訊號，所以
同理可求得
所以2-20 試根據乙個訊號的自相關函式圖形，討論如何確定該訊號中的常值分量和週期成分。
解：設訊號x(t)的均值為x，x1(t)是x(t)減去均值後的分量，則
x(t) = x + x1(t)
如果x1(t)不含週期分量，則，所以此時；如果x(t)含週期分量，則rx()中必含有同頻率的週期分量；如果x(t)含幅值為x0的簡諧週期分量，則rx()中必含有同頻率的簡諧週期分量，且該簡諧週期分量的幅值為x02/2；
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