一知識點
1第一章主要掌握複數的四則運算，複數的代數形式、三角形式、指數形式及其運算。
2 第二章主要掌握函式的解析性，會判斷函式是否是解析函式，會求解析函式的導數。
3 第三章掌握復變函式積分的計算，掌握柯西積分公式，掌握解析函式與調和級數的關係。
4 第四章掌握複數項級數的有關性質，會把乙個函式展開成泰勒級數。
5 第五章掌握將函式展開為洛朗級數，掌握孤立奇點的分類及判斷。
6 第六章掌握留數的計算，掌握用留數計算積分，掌握利用留數計算三類實積分。
二例題選講
1求的值。 知識點：利用定義。
解 ====。
2 設，試證：。知識點：複數，複數的模，共軛複數之間的關係。
證明：由得，， ==
3求的值。知識點：初等函式的定義，函式值的計算，，
解4 證明。
證明。知識點：複數模的計算，複數模共軛複數的關係。
證明：5 設三點適合條件，試證明三點是乙個內接於單位圓周的正三角形的頂點。
知識點：利用平行四邊形公式。
解：由得， =
所以，同理，，所以三點是乙個內接於單位圓周的正三角形的頂點。
6 求極限。知識點：這是型，用洛必達法則。
解 *****3。
7 試證明在平面上解析，並求導其導數。
知識點：利用柯西—黎曼條件，利用雙曲函式的定義。
解：，，
，，以上四個偏導數在復平面上連續，且滿足柯西—黎曼條件，在平面上解析，其導數為
。8驗證是平面上的調和函式，並求以為實部的解析函式，使得。知識點：調和函式的定義，調和函式和解析函式的關係。
解由得，， ，
所以，所以是平面上的調和函式.由柯西—黎曼條件得=，所以，，從而，由得，所以。
9 設函式在區域內解析，試證：
知識點：解析函式的導數的計算。
解：設函式，則，，，
而解析函式的實部與虛部是調和函式，，所以有。
11試證在復平面上解析，並求其導數。
知識點：利用柯西—黎曼條件判斷函式的可導性與解析性。
證明：，，，，，以上四個偏導數在復平面上連續，且滿足柯西—黎曼條件，所以在復平面上解析，其導數為。
12驗證在右半平面內是調和函式，其中。
知識點：調和函式的定義，解析函式和調和函式的關係。
解：， ，，於是，因此在右半平面內是調和函式。
13 設函式在解析,並且它不恒為常數.證明：若為的m階零點的充要條件是為的m階極點. 知識點；極點和零點的關係。
證明：若為的m階零點，則，其中在點的某個鄰域內解析且，所以，在點的某個鄰域內解析且，所以為的m階極點.
14將在內展開成羅朗級數。
知識點：利用，以及逐項求導，將分式寫成部分分式的和。
解設=15 將按的冪展開成冪級數。知識點：把函式展開成泰勒級數和洛朗級數。
解： = =，
16將在內展開成冪級數
知識點：利用，以及逐項求導，將分式寫成部分分式的和。
解設=，
去分母得 ， 取，得
取，得， 取，得，所以==
17 知識點：利用留數定理或柯西積分公式。
解；由得，這些點都是函式的一階極點，都在內。
= 而所以=
18 知識點：利用留數定理或柯西積分公式。
解；由得，這是函式的二階極點，而且在內。=
而所以=0.
19 知識點；令，則,
,然後化成復變函式沿閉曲線的積分，用留數定理來計算。
解令，則，被積函式有兩個一級極點， 因為只有，所以只有在單位圓內
，所以=
20 計算積分知識點：利用留數定理或柯西積分公式。
解：被積函式有兩個極點，這兩個極點都在圓周內，因此=而==
同理，所以=.
21計算積分。 知識點：利用留數定理計算實的積分。
解：被積函式是偶函式，所以，而=，於是有。
22 計算積分. 知識點：利用留數定理
解：被積函式有兩個極點，這兩個極點都在圓周內
因此=，而==
而，所以=。
23計算積分知識點：利用留數定理或柯西積分公式。
解；由得，這些點都是函式的一階極點，而只有時奇點才在內。=， 而，，所以
24計算積分知識點：利用留數定理計算實的積分。
解：被積函式有兩個極點，只有極點在上半平面內
所以=，==
25求方程在內根的個數。知識點，利用儒歇定理。
解：設，在在，內解析，在上連續，且在上，，，所以在上，，因此與，在內有相同的零點個數，所以在內有4個根。
26 設在內解析, 在邊界上， 證明在內存在一點使得。
電大《復變函式》期末複習
復變函式 複習資料 第1章 複數與復變函式 複數是用有序數對定義的，其中為實數。要注意，因為複數是 有序數對 所以一般地講，正如所有實數構成的集合用表示，所有複數構成的集合用表示，即 複數的四則運算定義為 複數的四則運算滿足以下運算律 加法交換律 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配...
復變函式複習提綱
一 複數的概念 1.複數的概念 是實數,注 兩個複數不能比較大小.2.複數的表示 1 模 2 幅角 在時，向量與軸正向的夾角，記為 多值函式 主值是位於中的幅角。3 與之間的關係如下 當 當 4 三角表示 其中 注 中間一定是 號。5 指數表示 其中。二 複數的運算 1.加減法 若，則 2.乘除法 ...
復變函式與積分變換複習
復變函式複習重點 一 複數的概念 1.複數的概念 是實數,注 一般兩個複數不比較大小，但其模 為實數 有大小.2.複數的表示 1 模 2 幅角 在時，向量與軸正向的夾角，記為 多值函式 主值是位於中的幅角。3 與之間的關係如下 當 當 4 三角表示 其中 注 中間一定是 號。5 指數表示 其中。二 ...