(一)複數的概念
1.複數的概念：，是實數,..
注：兩個複數不能比較大小.
2.複數的表示
1）模：；
2）幅角：在時，向量與軸正向的夾角，記為（多值函式）；主值是位於中的幅角。
3）與之間的關係如下：
當；當；4）三角表示：，其中；注：中間一定是「+」號。
5）指數表示：，其中。
(二) 複數的運算
1.加減法：若，則
2.乘除法：
1）若，則
； 。
2）若, 則
； 3.乘冪與方根
1） 若，則。
2） 若，則
（有個相異的值）
（三）復變函式
1．復變函式：，在幾何上可以看作把平面上的乙個點集變到平面上的乙個點集的對映.
2．復初等函式
1）指數函式：，在平面處處可導，處處解析；且。
注：是以為週期的週期函式。（注意與實函式不同）
3） 對數函式： （多值函式）；
主值：。（單值函式）
的每乙個主值分支在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且；
注：負複數也有對數存在。（與實函式不同）
3）乘冪與冪函式：；
注：在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且。
4）三角函式：
在平面內解析，且
注：有界性不再成立；（與實函式不同）
4） 雙曲函式 ；
奇函式，是偶函式。在平面內解析，且。
（四）解析函式的概念
1．復變函式的導數
1）點可導： =；
2）區域可導：在區域內點點可導。
2．解析函式的概念
1）點解析：在及其的鄰域內可導，稱在點解析；
2）區域解析：在區域內每一點解析，稱在區域內解析；
3）若在點不解析，稱為的奇點；
3．解析函式的運算法則：解析函式的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函式；解析函式的復合函式仍為解析函式；
（五）函式可導與解析的充要條件
1．函式可導的充要條件：在可導
和在可微，且在處滿足條件：
此時， 有。
2．函式解析的充要條件：在區域內解析
和在在內可微，且滿足條件：；
此時。注： 若在區域具有一階連續偏導數，則在區域內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有一階連續偏導且滿足條件時，函式一定是可導或解析的。
3．函式可導與解析的判別方法
1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習題1）
2）利用充要條件 （函式以形式給出，如第二章習題2）
3）利用可導或解析函式的四則運算定理。（函式是以的形式給出，如第二章習題3）
（六）復變函式積分的概念與性質
1． 復變函式積分的概念：，是光滑曲線。
注：復變函式的積分實際是復平面上的線積分。
2． 復變函式積分的性質
1） （與的方向相反）；
2） 是常數；
3） 若曲線由與連線而成，則。
3．復變函式積分的一般計算法
1）化為線積分：；（常用於理論證明）
2）引數方法：設曲線：，其中對應曲線的起點，對應曲線的終點，則 。
（七）關於復變函式積分的重要定理與結論
1．柯西—古薩基本定理：設在單連域內解析，為內任一閉曲線，則
2．復合閉路定理： 設在多連域內解析，為內任意一條簡單閉曲線，是內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，並且以為邊界的區域全含於內，則
其中與均取正向；
，其中由及所組成的復合閉路。
3．閉路變形原理 ： 乙個在區域內的解析函式沿閉曲線的積分，不因在內作連續變形而改變它的值，只要在變形過程中不經過使不解析的奇點。
4．解析函式沿非閉曲線的積分： 設在單連域內解析，為在內的乙個原函式，則
說明：解析函式沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函式即可。
5。 柯西積分公式：設在區域內解析，為內任一正向簡單閉曲線，的內部完全屬於，為內任意一點，則
6．高階導數公式：解析函式的導數仍為解析函式，它的階導數為
其中為的解析區域內圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬於。
7．重要結論：
。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）
8．復變函式積分的計算方法
1）若在區域內處處不解析，用一般積分法
2）設在區域內解析，
● 是內一條正向簡單閉曲線，則由柯西—古薩定理，
● 是內的一條非閉曲線，對應曲線的起點和終點，則有
3）設在區域內不解析
● 曲線內僅有乙個奇點：（在內解析）
● 曲線內有多於乙個奇點： （內只有乙個奇點）
或：（留數基本定理）
● 若被積函式不能表示成，則須改用第五章留數定理來計算。
（八）解析函式與調和函式的關係
1．調和函式的概念：若二元實函式在內有二階連續偏導數且滿足，
為內的調和函式。
2．解析函式與調和函式的關係
● 解析函式的實部與虛部都是調和函式，並稱虛部為實部的共軛調和函式。
● 兩個調和函式與構成的函式不一定是解析函式；但是若如果滿足柯西—
黎曼方程，則一定是解析函式。
3．已知解析函式的實部或虛部，求解析函式的方法。
1）偏微分法：若已知實部，利用條件，得；
對兩邊積分，得
再對（*）式兩邊對求偏導，得（**）
由條件，，得，可求出 ；
代入（*）式，可求得虛部 。
2）線積分法：若已知實部，利用條件可得，
故虛部為；
由於該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中與是解析區域中的兩點。
3）不定積分法：若已知實部，根據解析函式的導數公式和條件得知，
將此式右端表示成的函式，由於仍為解析函式，故
為實常數）
注：若已知虛部也可用類似方法求出實部
（九）複數項級數
1．複數列的極限
1）複數列（）收斂於複數的充要條件為
（同時成立）
2）複數列收斂實數列同時收斂。
2．複數項級數
1）複數項級數收斂的充要條件是級數與同時收斂；
2）級數收斂的必要條件是。
注：複數項級數的斂散性可以歸納為兩個實數項級數的斂散性問題的討論。
（十）冪級數的斂散性
1．冪級數的概念：表示式或為冪級數。
2．冪級數的斂散性
1）冪級數的收斂定理—阿貝爾定理(abel)：如果冪級數在處收斂，那麼對滿足的一切，該級數絕對收斂；如果在處發散，那麼對滿足的一切，級數必發散。
2）冪級數的收斂域—圓域
冪級數在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發散。
3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。
● 比值法如果，則收斂半徑；
● 根值法 ，則收斂半徑；
● 如果，則；說明在整個復平面上處處收斂；
如果，則；說明僅在或點收斂；
注：若冪級數有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如）
3．冪級數的性質
1）代數性質：設的收斂半徑分別為與，記，
則當時，有
（線性運算）
（乘積運算）
2）復合性質：設當時，，當時，解析且，
則當時，。
3） 分析運算性質：設冪級數的收斂半徑為，則
● 其和函式是收斂圓內的解析函式；
● 在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且
● 在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變
（十一）冪函式的泰勒展開
1. 泰勒展開：設函式在圓域內解析，則在此圓域內可以展開成冪級數；並且此展開式是唯一的。
注：若在解析，則在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；
其中為從到的距最近乙個奇點之間的距離。
2．常用函式在的泰勒展開式
1）23）43．解析函式展開成泰勒級數的方法
1）直接法：直接求出，於是。
2）間接法：利用已知函式的泰勒展開式及冪級數的代數運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函式展開。
（十二）冪函式的洛朗展開
1. 洛朗級數的概念：，含正冪項和負冪項。
2．洛朗展開定理：設函式在圓環域內處處解析，為圓環域內繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環域內，有，且展開式唯一。
3．解析函式的洛朗展開法：洛朗級數一般只能用間接法展開。
*4．利用洛朗級數求圍線積分：設在內解析，為內的任何一條正向簡單閉曲線，則。其中為在內洛朗展開式中的係數。
說明：圍線積分可轉化為求被積函式的洛朗展開式中的係數。
（十三）孤立奇點的概念與分類
1。 孤立奇點的定義 ：在點不解析,但在的內解析。
2。孤立奇點的型別：
1）可去奇點：展開式中不含的負冪項；
2）極點：展開式中含有限項的負冪項；
其中在解析，
且；3）本性奇點：展開式中含無窮多項的負冪項；
（十四）孤立奇點的判別方法
1．可去奇點：常數；
2．極點：
3．本性奇點：不存在且不為。
4．零點與極點的關係
1）零點的概念：不恒為零的解析函式，如果能表示成，
其中在解析，為正整數，稱為的級零點；
2）零點級數判別的充要條件
是的級零點
3）零點與極點的關係：是的級零點是的級極點；
4）重要結論
若分別是與的級與級零點，則
● 是的級零點；
● 當時，是的級零點；
當時，是的級極點；
當時，是的可去奇點；
● 當時，是的級零點，
當時，是的級零點，其中
（十五）留數的概念
1．留數的定義：設為的孤立奇點，在的去心鄰域內解析，為該域內包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數（或殘留），記作
2．留數的計算方法
若是的孤立奇點，則，其中為在的去心鄰域內洛朗展開式中的係數。
1）可去奇點處的留數：若是的可去奇點，則
2）級極點處的留數
法則若是的級極點，則
特別地，若是的一級極點，則
注：如果極點的實際級數比低，上述規則仍然有效。
法則設，在解析，
，則（十六）留數基本定理
設在區域內除有限個孤立奇點外處處解析，為內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則
說明：留數定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉化為求被積函式在內各孤立奇點處留數的區域性問題。
復變函式複習
一知識點 1第一章主要掌握複數的四則運算，複數的代數形式 三角形式 指數形式及其運算。2 第二章主要掌握函式的解析性，會判斷函式是否是解析函式，會求解析函式的導數。3 第三章掌握復變函式積分的計算，掌握柯西積分公式，掌握解析函式與調和級數的關係。4 第四章掌握複數項級數的有關性質，會把乙個函式展開成...
電大《復變函式》期末複習
復變函式 複習資料 第1章 複數與復變函式 複數是用有序數對定義的，其中為實數。要注意，因為複數是 有序數對 所以一般地講，正如所有實數構成的集合用表示，所有複數構成的集合用表示，即 複數的四則運算定義為 複數的四則運算滿足以下運算律 加法交換律 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配...
復變函式與積分變換複習
復變函式複習重點 一 複數的概念 1.複數的概念 是實數,注 一般兩個複數不比較大小，但其模 為實數 有大小.2.複數的表示 1 模 2 幅角 在時，向量與軸正向的夾角，記為 多值函式 主值是位於中的幅角。3 與之間的關係如下 當 當 4 三角表示 其中 注 中間一定是 號。5 指數表示 其中。二 ...