第一章 (p)
*複習複數的概念、運算、幾何表示、三角表示
*平面點集的有關概念
*復變函式的概念
*復變函式的極限與連續性
1.1複數
1.知識點的串聯
共軛的概念是相互的，
共軛調和函式的概念不是相互的，（共軛也是乙個相對的概念）
關於共軛複數的理解可以通過影象來幫助理解
2.共軛相加是實數，是實部的兩倍
共軛相減是純虛數，是減複數（相對於被減數）的虛部的2i倍
3.運算性質，
四則運算：分別滿足加法和乘法的交換律、加法和乘法的結合律，還有加乘共同的分配律
共軛運算：有比較有意思的運算性質
（1）兩次共軛是本身
（2）和的共軛等於共軛的和，乘的共軛等於共軛的乘，除的共軛等於共軛的除（分母不為0）注意： 除的共軛要注意，注意劃線的長短，如果只有分子上一劃，如果比較長的話比如超過了其括號等複數外的運算符號的線度，說明是整個分數的共軛，如果比較短只是包括複數部分的話就是只是分子的共軛）
（3）共軛相乘等於，實部虛部的平方和，也就是模的平方（這些用於一些不怎麼直觀的隱函式的運算，知道其運算的本質入手）（注意：解題：共軛相乘必為實數，故用於分母去複數等）
4.隱函式，複數方程的求解
用到了待定係數法
和複數相等的定義 ，定理等價條件，和實部虛部分別相等等價，也就是充要
5.由於思維定勢的存在，所以對於一般的複數形式的平方，總覺得有三個項，就是由於平方公式的影響，然後合併和也會有兩個項，但是由於複數的特殊性，就是i的平方等於-1這個特殊的性質，使得實數有了消失的可能。
總結了一下一般情況，也就是當乙個複數的實部和虛部的絕對值相等的時候，它的平方後的式子中是沒有實數的，就是純虛數了，這個很好用。至少知道這是乙個能夠使得式子會變得更加簡單的方向，而不是懷疑這樣子是不是會有兩項，尤其是外面還有很多次方的時候，就不敢先平方一下了。
對於有關平方的地方，到了複數的範疇就要多想一下，就要防止思維定勢。要試著重新看一下，會怎麼樣，或者就是反著想。
6.複數不等於0時都有幅角 0時幅角不確定
幅角的本質是角度
大於-pi小於等於pi的幅角稱為幅角的主值
幅角的計算：根據所給的複數一般式計算幅角
一四象限就是arctan（y/x）虛部比實部
第二象限加pi，第三象限減pi （注意：要結合tansita 的影象來理解）
過程就寫幅角（z）=主幅角（z）+2kpi=arctan….. 不要忘記所用的k 的範圍，還有冪級數的收斂的範圍（後標）
7.對於複數的理解，有很多種方法，各有各的實際意義，要從多方面理解，尤其是結合圖形
複數加減具有向量的性質
兩複數的差的模表示其距離
三角不等式：
兩邊之和大於等於第三邊（用平行四邊形中的長對角邊三角形理解）
兩邊之差（不管加不加絕對值）小於等於第三邊（用平行四邊形中的短邊三角形理解）
8.再說一遍，看到乙個複數（不管是乙個複數還是複數的運算多項式等等，從整體的角度看就是乙個複數）的模的平方（注意不是平方的模）就想到等於其共軛的相乘。還有對於共軛的深刻理解和對多重共軛的理解和靈活運用。
共軛的相乘和複數的模的平方之間的靈活轉換
9．複數的三角表示，複數不能為0
要注意形式，比如正負號還有cos和sin 的位置不要互換了，否則就不是標準形式，不是標準形式就不能直接和別的形式之間直接進行轉化，否則就會出錯。
從這裡也可以看出設立標準（形式）的意義，在於不同形式之間的方便轉換，主要由兩個關鍵部分組成，乙個是標準形式，乙個是標準轉換，通過標準轉換方法（公式）實現標準形式之間的轉換
當cos sin的形式不對，主要的是乙個前面有正負號了，還有就是sin 和cos的位置調了，正負好容易解決，cos角度取負不變，sin取反等。。位置調了就用半形公式轉換。
10.複數的指數表示，rexp（isita）的形式
模直接實數表示，角度用指數表示
11.複數乘積的幾何意義，模相乘，角相加
除法就是模相除，角相減，反正乘法可以推出除法。
順時針轉乘負角
12.複數的乘冪，對應複數函式中的冪函式
對應方根，n次方根有n個不同解，幾何意義是這n個複數解釋以原點為中心，模的n次方根的半徑的圓的內接正n邊形的n個頂點
求方根問題，用三角形式和指數形式這兩種都包含角度的形式都可以做
13.複數形式的代數方程與平面幾何圖形
14.擴充複數域c+ 引進乙個新的數無窮
相當於對應了擴充復平面引進了乙個新的假想的點無窮遠點
這裡的無窮都沒有加號因為對於複數域，不能比較大小，無窮和0是一樣的，是沒有方向的，沒有幅角，因為是乙個平面，方向有無數個
注意：乙個非0數除以0是無窮
乙個有限數（只要有限，不等於無窮）被無窮除就是無窮
1.2區域
鄰域去心鄰域
內點開集（內點：對點集內的任意乙個點都存在完全在點集內的鄰域） 餘集閉集
邊界邊界點如果乙個點（！！！注意這個點不一定是在e裡面的點，而是對任意的平面上的點而言的，因為對於開集，顯然這個點是不屬於開集的）的任一鄰域總含有屬於e的點和不屬於e的點，則稱這個點為邊界點 e的全體邊界點構成e的邊界 (開集加上它的邊界就是閉集)
區域d滿足的條件：d是乙個開集，d是連通的（d中的任何兩點都可用完全含在d內的一條折線連起來，但是沒說是單連通還是多連通區域，多連通也是可以的，滿足的）
閉區域：區域d與它的邊界的（合集？） 簡稱閉域記作d上加上劃線
（區域首先要是乙個開集，還要連通，也就是說不連通的開集不屬於區域）
有界區域：區域d可以包含在乙個以原點為中心、有限值為半徑的圓內就稱為有界區域。
否則無界區域。
共軛概念的理解。概念對
在想一條直線算不算區域，但是它連開集的條件都不滿足
平面曲線的複數表示式
如果x（t）和y（t）的導數在定義域連續，且導數的平方和不等於0，則稱曲線是光滑曲線。為什麼，後面的條件？？？
複數來表達乙個曲線方程的時候，考慮用一種向量的位置思想
逐段光滑：由幾段光滑曲線依次連線所組成的曲線，（在接頭處呢？？）
閉曲線：乙個曲線若起點與終點重合，則稱為閉曲線，起點終點處的函式值相等，複數函式值
簡單曲線：如果自變數t的任何兩個不同的值，除了起點終點，總對應曲線上兩個不同的點，則稱為簡單曲線。（簡單曲線在平面上的幾何意義就是曲線不相交，除了兩端處可能重合）
如果同時滿足上面兩個條件就是簡單閉曲線。
單連通域：d是復平面的乙個區域，也就是說既是開集也是連通域。如果在其中任作一條簡單閉曲線，閉曲線的內部總屬於d，則稱d為單連通域，否則稱為多連通域。
用連通域定義區域，再用區域定義單或多連通域，或者說區分單或多連通域
不對，單或多的連通域的本質是區域，也就是既是開集又是連通域，
然後是用簡單閉曲線區分的。
這一章的所有定義還是知識點都是為了最後說乙個單/多連通域服務的。
1.3 復變函式及其極限與連續
1.3.1復變函式
復變函式複數集d，對任意z屬於d，都有乙個或幾個複數w與之對應，w是z的復變函式（任意好解決，就把d取為不包含沒有對應的w的z的區域就好了，那些點是沒有意義的點）
單值函式乙個z乙個w
多值函式乙個z多個w
復變函式相當於兩個實函式 u v （就可以考察兩個實函式，有實函式的一些性質啊什麼的）
復變函式的幾何意義：由z平面上的點集d到w平賣弄上的點集g=f（d）的乙個對映
g中的w是d中的z的象 z是w的原象
1.3.2復變函式的極限
極限：w在z0的去心鄰域內有定義，存在乙個大於0的delta，在z0的delta去心鄰域內有函式值減去乙個常數小於任意乙個正數
這個常數a稱為z趨於z0時f的極限
（注意：z趨於z0的方式是任意的，有無數個方向，而且不僅僅是方向？
z趨於z0時f的極限存為a，意味著當z從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近於z0時，f均以a為極限）
解題：關於z的方向，可以用x和y的關係，之間的限制關係來體現，比如沿y=kx來趨於0，然後發現極限不是乙個定值，是和變數k有關係的。。極限值隨k的不同而不同，故極限不存在。）
定理：復變函式極限的存在等價於其實部和虛部兩個二元實函式極限的存在性（和第四章的複數列的極限有些相似，因為複數列某種意義上來說也是一種復變函式的形式，形似有點類似，只是一種離散的）
複數的極限可以運算，但是要是有限複數
加減乘除都是直觀的等價運算除注意分母不為0
1.3.3連續性
定義如果前面的那個極限等於f在z0處的函式值，也就是a等於f在z0處的函式值
就稱f在z0處連續
如果f在趨於d內每一點均連續，就稱f在d內連續
定理:f在z0處連續等價於兩個二元實變數函式在點（x0，y0）處連續
定理和定義都可以用來解題
定理：兩個函式都在z0處連續，那麼他們的加減乘除後的式子也在z0連續（除注意分母不為0的地方連續）。復合也連續。
有理分式函式分子分母為多項式函式在z平面上使分母不為0的點處連續
f=argz 在復平面上的連續性在負實軸arg=pi上不連續在arg大於-pi小於pi內不連續
1.3.4復變函式的導數
定義：函式w定義於d 當deltaz趨於0時， /deltaz 的極限存在就稱f在z0處可導極限值稱為f在z0處的導數有兩種寫法
復變函式複習提綱
一 複數的概念 1.複數的概念 是實數,注 兩個複數不能比較大小.2.複數的表示 1 模 2 幅角 在時，向量與軸正向的夾角，記為 多值函式 主值是位於中的幅角。3 與之間的關係如下 當 當 4 三角表示 其中 注 中間一定是 號。5 指數表示 其中。二 複數的運算 1.加減法 若，則 2.乘除法 ...
復變函式總結完整版
第一章複數 1 1尤拉公式 z x iy實部re z虛部 im z 2運算 共軛複數 共軛技巧 運算律 p1頁 3代數，幾何表示 z與平面點一一對應，與向量一一對應 輻角當z 0時，向量z和x軸正向之間的夾角 記作 arg z k 1 2 3 把位於 的叫做arg z輻角主值記作 4如何尋找arg ...
20100618復變函式論分章總結
復變函式論框圖 課程的重點與難點 課程的重點是 1 解析函式，柯西積分定理和積分公式 2 級數，泰勒展開和羅朗展開式，解析函式的唯一性定理 3 殘數定理及應用 4 線性變換，保形對映 課程的難點 1 多值函式,2 保形對映.ch1 複數與復變函式 內容 複數及其運算 幾何表示，復平面上的點集 區域 ...