習題八解答
a類1．用定義求下列函式的拉氏變換,並用查表的方法來驗證結果.
(123)
(456)
解 (1) &
(2) &
(3) &
(4) &
(5) &
(6) &
2．求下列函式的拉氏變換.
(12)
(34)
(5)解 （1） &
（2） &
（3）&
（4） &
（5）&\
3．設是以為週期的函式,且在乙個週期內的表示式為
求&解週期為t的函式的拉氏變換為
&因此有
&4．求下列函式的拉氏變換式.
（12）
（34）
（56）
（78）
（9）（n為整數10）
（1112）
解（1）利用&，
&&&&&
（2）&&&&
&（3）&&&4&
（4）&&&
&（5）&&&
（6）&&=5&&
（7）&&
這裡有&
再利用位移性質得到.
（8）同（7）利用&及位移性質
&&（9）利用&及位移性質得
&&（10）解法1由
&&解法2 由相似性質
&由位移性質&&&
（11）利用&及位移性質
&&（12）因為所以&
5．利用像函式的導數公式計算下列各式
（1）求
（2）求
（3）求
解（1）利用公式&
&&（2）由積分性質
&&再由像函式的微分公式
&&（3）&&&
6．利用像函式的積分公式計算下列各式
（1）求.
（2）求.
（3）求.
（4）求.
解利用公式&這裡&因此
&（1）&&&
（2）&&
（3）&&
&（4）&&
&7．利用拉氏變換的性質求下列函式的拉氏變換.
（12）.
（34）.
解（1）&&&
（2）&&&
（3）&&&&
&（4）&&&
8．求下列函式的拉氏逆變換.
（12）
（34）
（56）
（78）
解（1）&&
（2）&&
（3）由&及位移性質&得
&&（4）&&
（5）&&&
（6）&&
&&&（7）&&&
&&（8）&&&
&&9．設均滿足拉氏變換存在定理的條件（若它們的增長指數均為）且&&，則乘積的拉氏變換一定存在，且&其中
證由於均滿足拉氏變換存在定理的條件以及增長指數均為，知乘積也一定滿足拉氏變換存在的定理的條件且增長指數為根據拉氏存在定理的證明當時，&在上存在且一致收斂.由於而&
10．求下列函式的拉氏逆變換（像原函式），並用另一種方法加以驗證.
（12）
（34）
（56）
（78）
（910）
（1）解法1 &&
&解法2
解法3 &&
（&&）
（2）解法1 &&
解法2 &&
=&（&&
（3）解法1 &
解法2 &&
=&&&&
（4）解法1 &&
=&&&
解法2 &
（5）解法1 &&&&&
解法2 &
（6）解法1 &
&&&&
解法2 &
（7）解法1 &
&解法2 &
（8）解法1 &&
&&&解法2 &
（9）解法1 &&
&解法2
（10）解法1 &=&
&&解法2 &
11.求下列函式的拉氏逆變換.
（12）
（34）
（56）
（78）
（910）
（1112）
（1314）
（1516）
解 （1）&&
&&（2）&&
&&（3）&
（4）&&
&&&（5）&&
&（6）&&
&&（7）&&&&&
（8）&&&&&
&）（9）&&&&
&（10）&&
（11）&&
=&=&
&&&(12)&
&&&&&
(13)&&&&&
&&待定係數
&&&&
&&&&
&&&12．試求下列微分方程或微分方程組初值問題的解.
（1）（2）.
（3）.
（4）.
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10） （常數）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
解（1）設&將方程兩邊取拉氏變換得
解之得取拉氏逆變換得
&&&&
（2）對方程兩邊取拉氏變換，並考慮到初始條件，得
整理後解出得
再取拉氏逆變換得其解為
&&&&
（3）對方程兩邊取拉氏變換，並代入初始條件，得
解出得取拉氏逆變換，得，
&（&&）
（4）方程兩邊取拉氏變換，並代入初始條件，得
整理後，得
取拉氏逆變換得
&&&（5）對方程兩邊取拉氏變換，且代入初始條件得
解出用待定係數法確定係數
令得.令得代入上面方程得，
再令得.令得，解得於是
取拉氏逆變換得到原方程解
&&&&&
&&&&
（6）對方程兩邊取拉氏變換，並利用初始條件得
整理得即
利用拉氏變換的性質可得&&
&&所以有（7）對方程兩邊取拉氏變換得
整理得取拉氏逆變換並利用卷積定理得&&&
（8）對方程兩邊取拉氏變換得
部分分式
用待定係數法得
因此&&&&&
而利用卷積定理
&&&&所以&
=&&（9）對方程兩邊取拉氏變換,並代入初始條件注意這裡
&所以原方程的解為
&&&（10）方程兩邊取拉氏變換,得&&
&+因此原方程的解為
&&&&&
(11)設&&.對方程組兩邊取拉氏變換且代入初始條件,得
整理後,得
解之得對上述方程組兩邊取拉氏逆變換,得
&&&&&
&&&&&
因此原方程組的解為
(12)對方程組兩邊取拉氏變換並代入初始條件,得
整理後,得
解之得取拉氏逆變換得到原方程組的解為
(13)對方程組兩邊取拉氏變換並代入初始條件,設
&&=&得
整理後,解之得
取拉氏逆變換得到原方程組的解為&&&
&&即解為
(14)方程組中每個方程兩邊取拉氏變換,得
整理得解之得
再取拉氏逆變換得到其解為
(15)對方程組中各方程兩邊取拉氏變換,得
由後兩個方程得代入第乙個方程解得
取拉氏逆變換得其解為
b類1.求下列各圖所示週期函式的拉氏變換
解 (1)由圖易知是週期為的函式,且在乙個週期內的表示式為
由公式&
(2)由圖易知為階梯函式,利用單位階躍函式,可將表示為
由拉氏變換的線性性質及延遲性質得
&當時,有因此有
&(3)由圖可知是週期的週期函式,在乙個週期內
由公式&
(4)由圖易知,是週期為的週期函式,在乙個週期內
由公式&
2.計算下列積分.
(12)
(34)
(56)
(78)
(910)
解 (1)由公式&得
&(2)&
(3)&
(4)已知&因此
（5）&
(6)已知&再由微分性質&得
&&(8)&&
(9)已知&利用微分性質&&
（10）
&3．（1）已知&，試求的初值和值
（2）已知&，試求的初值，並問能否用終值定理求出終值？
解（1）由初值定理
&由終值定理
&（2）&
又因為&有奇點在虛軸上，所以不能應用終值定理判斷
4．分別求下列函式的逆變換之初值與終值。
（12）
（34）.
解（1）
（2）（3）
（4）5．求下列卷積。
（12）
（34）
（56）
（78）
（910）
解卷積定義:
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）當時，
此時，當時
因此，（10）
當時，.此時
當時，因此，
6．利用卷積定理證明&證設
於是&&
左邊&&
右邊7．利用卷積定理證明
&並求&
證設於是
&&&&
左邊&&
右邊設前面已證&但
&&&8．試求下列函式的拉氏逆變換.
（12）
（34）
解（1）設於是&則
由卷積定理
&&（2）設於是
&&&&
&&(3)設於是&
&&（4）設由（1）知&&
&&9．試求下列積分方程的解
（1）（2）其中
解將積分方程取拉氏變換並利用卷積定理，設&
（1）&&
整理後得
再取拉氏逆變換得到原方程的解
&&整理後，得
再取拉氏逆變換得
10.設在原處質量為m的一質點在t=0時，在方向上受到衝擊力的作用，其中為常數，假定質點的初速度為零，求其運動規律.
解設t時刻質點為x軸正方向上點處，由題意質點運動的（瞬間）速度為,加速度為，且所以質點的運動規律滿足微分方程：
為解上面的微分，將方程兩邊取拉氏變換並代入初始條件，得
即再取拉氏逆變換得質點的運動規律為
&&11.某系統的傳遞函式求當激勵時的系統響應y(t).
解由系統的傳遞函式，易知系統的脈衝響應函式
&&於是當激勵時的系統響應為
=12.求下列函式的雙邊拉氏變換，並註明其收斂域.（1）
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