主題：第三章復變函式的積分4—6節
學習時間：2023年11月19日－11月25日
內容：在復變函式中，積分法與微分法一樣是研究復合函式性質十分重要的方法和解決實際問題的有力工具。
本週在得到復合閉路定理的基礎上建立柯西積分公式，並講述調和函式與解析函式的關係。其學習要求及需要掌握的重點內容如下：
1、了解原函式與不定積分的關係
2、掌握柯西積分公式
3、深刻理解調和函式與解析函式的關係
基本概念：復變函式的不定積分、調和函式、共軛調和函式
知識點：柯西積分公式，調和函式與解析函式的關係
第四節、原函式與不定積分
（要求達到「簡單應用」層次）
定義：設在單連通區域d內，函式的導數等於，即，則稱是在區域d內的乙個原函式。
同高等數學一樣，我們定義：的原函式的一般表示式(其中c為任意復常數)為的不定積分，記作。
定理1：設d為單連通區域，，若在g內解析，為在d內的乙個原函式，則，稱上式為牛頓-萊布尼茨公式。
典型例題：
例、計算積分
解： 此外，還可得到復變函式的分部積分公式
定理2：設在單連通區域d內解析，為區域d內兩點，則有
第五節、柯西積分公式
（要求達到「簡單應用」層次）
定理：設在區域g內解析，c為g內的任意一條正向簡單閉曲線，c的內部完全含於d，為c內的任意一點（如下圖），則，稱上式稱為積分基本公式或柯西積分公式。
典型例題：
例1、積分
例2、積分
推論1（平均值公式）：設在內解析，在上連續，則
這就是說，乙個解析函式在圓心處的值等於它在圓周上的平均值。
推論2：設在由簡單閉曲線所圍成的閉區域上解析，為d內的一點，則。
第六節、解析函式與調和函式的關係
（要求達到「領會」層次）
定義1：如果二元實函式在區域d內具有二階連續的偏導數，並且滿足拉普拉斯方程，則稱為區域d內的調和函式。
典型例題：
例、由於
所以是調和函式
定理1：設函式在區域d內解析，則它的實部和虛部都是d內的調和函式。
定義2：若函式是區域d內的解析函式，則稱為的共軛調和函式。
典型例題：
例、驗證是z平面上的調和函式，並求以為實部的解析函式，使
解法1（線積分法）：
有，故在z平面上為調和函式
由柯西-黎曼方程，有故故
要合必c=1，故
解法2（偏積分法）：
由，得再由得， 故從而
因此要合必c=1，故
解法3（不定積分法）：
因為解析
所以於是
要合必，故
《復變函式與積分變換》輔導五
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