主題：第七章傅利葉變換1-2節
學習時間：2023年1月6日－1月12日
內容：通過一定的手段將問題進行轉化，數學上稱之為變換。恰當的變換能將複雜問題轉化成簡單問題，類似於對數運算能將積商運算轉化成加減運算一樣，積分變換是一種數學變換，它能將卷積運算變成乘積運算，能將分析運算轉化成代數運算，從而可將微積分方程轉化為代數方程，使求解變得簡單，所以積分變換是一種重要的運算工具。
本週學習要求及需要掌握的重點內容如下：
1、理解傅利葉變換及其逆變換的概念
2、了解單位脈衝函式的性質
基本概念：傅利葉變換及其逆變換
知識點：分式線性對映的條件、幾個初等函式構成的共形對映
第一節、傅利葉積分
（要求達到「識記」層次）
一、週期函式的傅利葉級數
若函式是以t為週期的週期函式，並且在區間上滿足狄利克雷條件：
1、連續或只有有限個第一類間斷點；
2、只有有限個極值點，
那麼，在上就可以展開成傅利葉級數。
在的連續點處，
另還可以表示為
這就是傅利葉級數的復指數形式，或者寫為
為了今後應用上的方便，下面把傅利葉級數的三角形式轉換為復指數形式。利用尤拉公式，有
（要求記住）
（要求記住）
二、非週期函式的傅利葉積分公式
傅利葉積分定理：若定義在上的函式滿足下列條件：
1、在任一有限區間上滿足狄利克雷條件；
2、在有限區間上絕對可積，即收斂，則在的連續點上，的傅利葉積分公式成立，即。
而在的間斷點t處，上式的右端收斂於。
第二節、傅利葉變換
（要求達到「領會」層次）
一、傅利葉變換及傅利葉逆變換
定義：設函式滿足傅利葉積分定理中的條件，則在的傅利葉積分公式中，稱為的傅利葉變換，記作。
稱為函式的傅利葉逆變換，記作。
與是一對傅利葉變換，可記為， ，其中，叫做的像函式，叫做的像原函式。
特別地，當為奇函式時，有，叫做的傅利葉正弦變換或簡稱為正弦變換，即。
而叫做的傅利葉正弦逆變換或簡稱為正弦逆變換，即。
當為偶函式時，有，叫做的傅利葉余弦變換或簡稱為余弦變換，即。
而叫做的傅利葉余弦逆變換或簡稱為余弦逆變換，即。
典型例題：
例1、求指數衰減函式的傅利葉變換。
解：由，有
=例2、求函式的正弦變換和余弦變換。
解：根據式，的正弦變換為
根據式，的余弦變換為
二、單位脈衝函式及其傅利葉變換
定義：乙個函式，如果它滿足及，則稱此函式為函式。
單位脈衝函式的性質：
1、篩選性質
設是定義在實數域上的有界函式，且在t=0處連續，則
一般地，有
證明：同理2、偶函式
，所以。
3、單位階躍函式
，其中為單位階躍函式。
單位脈衝函式的傅利葉變換：
由此可見，單位脈衝函式與常數1構成了乙個傅利葉變換對。同理有
。典型例題：
例、求正弦函式的傅利葉變換
解：根據傅利葉變換公式，有}=
大工13秋《復變函式與積分變換》輔導十六
主題 第七章傅利葉變換3 5節 學習時間 2014年1月13日 1月19日內容 傅利葉變換是一種對連續時間函式的積分變換，它通過特定形式的積分建立了函式之間的對應關係。它既能簡化計算，又具有明確的物理意義，因而在許多領域被廣泛地應用，如電力工程，通訊和控制領域以及其他許多數學 物理和工程技術領域。本...
大工13秋《復變函式與積分變換》輔導一
主題 準備知識 一 學習時間 2013年9月30日 10月6日 內容 這周我們將學習函式的導數與微分。求函式的導數的方法是研究復變函式與積分變換的基礎，尤其是研究解析函式與共形對映的基礎。其學習要求及需要掌握的重點內容如下 一 導數 一 導數的定義 定義 設函式在點的某鄰域內有定義，若 存在，則稱函...
復變函式與積分變換
習題八解答 a類1 用定義求下列函式的拉氏變換,並用查表的方法來驗證結果.123 456 解 1 2 3 4 5 6 2 求下列函式的拉氏變換.12 34 5 解 1 2 3 4 5 3 設是以為週期的函式,且在乙個週期內的表示式為 求 解週期為t的函式的拉氏變換為 因此有 4 求下列函式的拉氏變換...