孫正忠一、復變函式複習重點
(一)複數的表示
1）模 2）幅角 3）三角表示 4）指數表示
（二）復初等函式（掌握最基本的這幾個，尤其是多值性）
指數函式：，在平面處處可導，處處解析；且。注：是以為週期的週期函式。（注意與實函式不同）
對數函式： （多值函式）；
主值：。（單值函式）
的每乙個主值分支在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且；
乘冪與冪函式：；
三角函式：
在平面內解析，且
（三）解析函式的概念
1）點解析：在及其的鄰域內可導，稱在點解析；
2）區域解析：在區域內每一點解析，稱在區域內解析；
3）若在點不解析，稱為的奇點；
（四）函式可導與解析的充要條件（一定要分清什麼是解析，什麼是可導）
1．函式可導的充要條件：在可導
和在可微，且在處滿足條件： 此時， 有。
2．函式解析的充要條件：在區域內解析
和在在內可微，且滿足條件：；
此時。（五）關於復變函式積分的重要定理與結論（記住公式，並學會如何運用）
1．柯西—古薩基本定理：
設在單連域內解析，為內任一閉曲線，則
2. 柯西積分公式：設在區域內解析，為內任一正向簡單閉曲線，的內部完全屬於，為內任意一點，則
3．高階導數公式：解析函式的導數仍為解析函式，它的階導數為
4．重要結論：
。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）
（六)已知解析函式的實部或虛部，求解析函式的方法。（掌握此型別）
1）偏微分法：若已知實部，利用條件，得；
對兩邊積分，得
再對（*）式兩邊對求偏導，得（**）
由條件，，得，可求出 ；
代入（*）式，可求得虛部 。
2）線積分法：若已知實部，利用條件可得，故虛部為；
由於該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中與是解析區域中的兩點。
3）不定積分法：若已知實部，根據解析函式的導數公式和條件得知
將此式右端表示成的函式，由於仍為解析函式，
（七）冪級數的斂散性
1．冪級數的概念：表示式或為冪級數。
2．收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。
● 比值法如果，則收斂半徑；
● 根值法 ，則收斂半徑；
● 如果，則；說明在整個復平面上處處收斂；
如果，則；說明僅在或點收斂；
（八）冪函式的泰勒展開
1. 泰勒展開：設函式在圓域內解析，則在此圓域內可以展開成冪級數；並且此展開式是唯一的。
2．常用函式在的泰勒展開式（牢記以下展開公式，並注意收斂域）
1）23）4（九）冪函式的洛朗展開
1. 洛朗級數的概念：，含正冪項和負冪項。
2．洛朗展開定理：設函式在圓環域內處處解析，為圓環域內繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環域內，有，且展開式唯一。
（十）孤立奇點的判別方法
1．可去奇點：常數；
2．極點：
3．本性奇點：不存在且不為。
（十一）留數的概念
1．留數的定義：設為的孤立奇點，在的去心鄰域內解析，為該域內包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數（或殘數），記作
2．留數的計算方法
若是的孤立奇點，則，其中為在的去心鄰域內洛朗展開式中的係數。
1）可去奇點處的留數：若是的可去奇點，則
2）級極點處的留數
若是的級極點，則
特別地，若是的一級極點，則
3.留數基本定理
設在區域內除有限個孤立奇點外處處解析，為內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則（重點掌握應用留數定理計算實變函式定積分的書上那三種型別，並能夠計算）
小結：注意重點掌握多值函式，解析函式定義，柯西定理，柯西公式，以及洛朗級數展開，留數定理計算定積分。（紅色標註容易出大題）
溫馨提醒：復變函式其實更重要的是理解那些概念和公式，學會認真思考各定理及公式的內在含義及關係，掌握什麼樣的題該用什麼樣的方法，靈活運用，看懂課本，其實這一部分並不是很難，有信心就好！
2、數學物理方程複習重點（只列重要知識點）
前言：數學物理方程這一部分，確實頭痛，個人感覺需要比較強的數學功底，自己學的也不是很好，總體感覺還是需要花功夫才能學好。如果考前突擊的話，就要抓住重點，學會取捨，分析出題人心理，最重要的還是牢牢掌握各類形式的方程典型例題解法，最好能動手算一遍，加深印象，到時候能做到依葫蘆畫瓢，把題做出來就行。
以下總結以知識點羅列為主，具體可參見楊顯清老師數學物理方程總結的那個課件。
（1）數學模型與定解條件
記住波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程的形式，區分三種邊界條件。掌握直角座標系的那4個本徵值和本徵函式的問題。（牢記）
（2）分離變數法（大題）
學會用分離變數法解方程，結合書中相應分離變數法的例題分析掌握，並學會處理各類非齊次條件（一般不會太難處理）。
（3）貝塞爾函式（大題）
貝塞爾方程的級數解。貝塞爾函式的遞推公式，正交關係。函式展成貝塞爾函式的級數。虛宗量的貝塞爾函式。以及應用貝塞爾函式解方程（重點）。
（4）勒讓德函式（大題）
勒讓德方程和勒讓德多項式。勒讓德多項式的微分表示。正交關係（掌握證明方法）。
勒讓德多項式的遞推公式。函式展成勒讓德多項式的級數。連帶勒讓德函式。
以及應用勒讓德函式解方程（重點）。
（5）邊值問題（參考例題掌握）
長方體上的拉普拉斯問題和熱傳導問題。圓柱體上的拉普拉斯問題和熱傳導問題。球體上的拉普拉斯問題和熱傳導問題。
（6）格林函式，達朗貝爾公式（理解，一般不會考大題）
小結：做數學物理方程這類題，最重要的還是克服自己心裡的畏懼感，相信自己可以學會，並且可以學好。解數學物理方程，其實最基本的也就那麼幾種方法，本徵函式展開法，特解法，衝量法等。
其中最重要的是本徵函式展開法，特解法最好掌握下，衝量法就可以不掌握，同時要清楚認識各種方法適用於哪些問題，最好能記住那些常用的通解。考試應該不會出過於複雜的題目，那就需要我們把最基本的一些書上的例題真正掌握好，考試時對症下藥。
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