第二章靜電場
重點和難點
電場強度及電場線等概念容易接受，重點講解如何由物理學中積分形式的靜電場方程匯出微分形式的靜電場方程，即散度方程和旋度方程，並強調微分形式的場方程描述的是靜電場的微分特性或稱為點特性。
利用亥姆霍茲定理，直接匯出真空中電場強度與電荷之間的關係。通過書中列舉的4個例子，總結歸納出根據電荷分布計算電場強度的三種方法。
至於媒質的介電特性，應著重說明均勻和非均勻、線性與非線性、各向同性與各向異性等概念。講解介質中靜電場方程時，應強調電通密度僅與自由電荷有關。介紹邊界條件時，應說明僅可依據積分形式的靜電場方程，由於邊界上場量不連續，因而微分形式的場方程不成立。
關於靜電場的能量與力，應總結出計算能量的三種方法，指出電場能量不符合迭加原理。介紹利用虛位移的概念計算電場力，常電荷系統和常電位系統，以及廣義力和廣義座標等概念。至於電容和部分電容一節可以從簡。
重要公式
真空中靜電場方程：
積分形式
微分形式
已知電荷分布求解電場強度：
1，；2， 3， 高斯定律
介質中靜電場方程：
積分形式
微分形式
線性均勻各向同性介質中靜電場方程：
積分形式
微分形式
靜電場邊界條件：
1，。對於兩種各向同性的線性介質，則
2，。在兩種介質形成的邊界上，則
對於兩種各向同性的線性介質，則
3，介質與導體的邊界條件：
；若導體周圍是各向同性的線性介質，則
；靜電場的能量：
孤立帶電體的能量：
離散帶電體的能量：
分布電荷的能量：
靜電場的能量密度：
對於各向同性的線性介質，則
電場力：
庫侖定律：
常電荷系統：
常電位系統：
題解2-1 若真空中相距為d的兩個電荷q1及q2的電量分別為q及4q，當點電荷位於q1及q2的連線上時，系統處於平衡狀態，試求的大小及位置。
解要使系統處於平衡狀態，點電荷受到點電荷q1及q2的力應該大小相等，方向相反，即。那麼，由，同時考慮到，求得
可見點電荷可以任意，但應位於點電荷q1和q2的連線上，且與點電荷相距。
2-2 已知真空中有三個點電荷，其電量及位置分別為：
試求位於點的電場強度。
解令分別為三個電電荷的位置到點的距離，則，，。
利用點電荷的場強公式，其中為點電荷q指向場點的單位向量。那麼，
在p點的場強大小為，方向為。
在p點的場強大小為，方向為。
在p點的場強大小為，方向為
則點的合成電場強度為
2-3 直接利用式（2-2-14）計算電偶極子的電場強度。
解令點電荷位於座標原點，為點電荷至場點p的距離。再令點電荷位於+座標軸上，為點電荷至場點p的距離。兩個點電荷相距為，場點p的座標為（r, ,）。
根據疊加原理，電偶極子在場點p產生的電場為
考慮到r >> l， = er，，那麼上式變為
式中以為變數，並將在零點作泰勒展開。由於，略去高階項後，得
利用球座標系中的散度計算公式，求出電場強度為
2-4 已知真空中兩個點電荷的電量均為c，相距為2cm， 如習題圖2-4所示。試求：①p點的電位；②將電量為c的點電荷由無限遠處緩慢地移至p點時，外力必須作的功。
解根據疊加原理，點的合成電位為
因此，將電量為的點電荷由無限遠處緩慢地移到點，外力必須做的功為
2-5 通過電位計算有限長線電荷
的電場強度。
解建立圓柱座標系。 令先電
荷沿z軸放置，由於結構以z軸對稱，場強與無關。為了簡單起見，令場點位於yz平面。
設線電荷的長度為，密度為
，線電荷的中點位於座標原
點，場點的座標為。
利用電位疊加原理，求得場點
的電位為
式中。故
因，可知電場強度的z分量為
電場強度的r分量為
式中，那麼，合成電強為
當l時，，則合成電場強度為
可見，這些結果與教材2-2節例4完全相同。
2-6 已知分布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度，試求圓心處的電場強度。
解建立直角座標，令線電荷位於xy平面，且以y軸為對稱，如習題圖2-6所示。那麼，點電荷在圓心處產生的電場強度具有兩個分量ex和ey。由於電荷分布以y軸為對稱，因此，僅需考慮電場強度的分量，即
考慮到，代入上式求得合成電場強度為
2-7 已知真空中半徑為a的圓環上均勻地分布的線電荷密度為，試求通過圓心的軸線上任一點的電位及電場強度。
解建立直角座標，令圓環位於座標原點，如習題圖2-7所示。那麼，點電荷在z軸上點產生的電位為
根據疊加原理，圓環線電荷在點產生的合成電位為
因電場強度，則圓環線電荷在點產生的電場強度為
2-8 設寬度為w，面密度為的帶狀電荷位於真空中，
試求空間任一點的電場強度。
解建立直角座標，且令帶狀電荷位於xz平面內，如習題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很多條寬度為的無限長線電荷，其線密度為。那麼，該無限長線電荷產生的電場強度與座標變數z無關，即
式中得那麼2-9 已知均勻分布的帶電圓盤半徑為a，面電荷密度
為，位於z = 0平面，且盤心與原點重合，試求圓盤
軸線上任一點電場強度。
解如圖 2-9所示，在圓盤上取一半徑為，寬度為的圓環，該圓環具有的電荷量為。由於對稱性，該圓環電荷在z軸上任一點p產生的電場強度僅的有分量。根據習題2-7結果，獲知該圓環電荷在p產生的電場強度的分量為
那麼，整個圓盤電荷在p產生的電場強度為
2-10 已知電荷密度為及的兩塊無限大面電荷分別位於x = 0及x = 1平面，試求及區域中的電場強度。
解無限大平面電荷產生的場強分布一定是均勻的，其電場方向垂直於無限大平面，且分別指向兩側。因此，位於x = 0平面內的無限大面電荷，在x < 0區域中產生的電場強度，在x > 0區域中產生的電場強度。位於x = 1平面內的無限大面電荷，在x < 1區域中產生的電場強度，在x > 1區域中產生的電場強度。
由電場強度法向邊界條件獲知，
即由此求得
根據疊加定理，各區域中的電場強度應為
2-11 若在球座標系中，電荷分布函式為
試求及區域中的電通密度。
解作乙個半徑為r的球面為高斯面，由對稱性可知
式中q為閉合面s包圍的電荷。那麼
在區域中，由於q = 0，因此d = 0。
在區域中，閉合面s包圍的電荷量為
因此，在區域中，閉合面s包圍的電荷量為
因此，2-12 若帶電球的內外區域中的電場強度為
試求球內外各點的電位。
解在區域中，電位為
在區域中，
2-13 已知圓球座標系中空間電場分布函式為
試求空間的電荷密度。
解利用高斯定理的微分形式，得知在球座標系中
那麼，在區域中電荷密度為
在區域中電荷密度為
2-14 已知真空中的電荷分布函式為
式中r為球座標系中的半徑，試求空間各點的電場強度。
解由於電荷分布具有球對稱性，取球面為高斯面，那麼根據高斯定理
在區域中
在區域中
2-15 已知空間電場強度，試求（0,0,0）與（1,1,2）兩點間的電位差。
解設p1點的座標為（0,0,0,）, p2點的座標為（1,1,2,），那麼，兩點間的電位差為
式中 ，因此電位差為
2-16 已知同軸圓柱電容器的內導體半徑為a，外導體的內半徑為b。若填充介質的相對介電常數。試求在外導體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，內外導體半徑之比。
解已知若同軸線單位長度內的電荷量為q1，則同軸線內電場強度。為了使同軸線獲得最高耐壓，應在保持內外導體之間的電位差v不變的情況下，使同軸線內最大的電場強度達到最小值，即應使內導體表面處的電場強度達到最小值。因為同軸線單位長度內的電容為
則同軸線內導體表面處電場強度為
令b不變，以比值為變數，對上式求極值，獲知當比值時，取得最小值，即同軸線獲得最高耐壓。
2-17 若在乙個電荷密度為，半徑為a的均勻帶電球中，存在乙個半徑為b的球形空腔，空腔中心與帶電球中心的間距為d，試求空腔中的電場強度。
解此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設半徑為的整個球內充滿電荷密度為的電荷，則球內點的電場強度為
式中是由球心o點指向點的位置向量，
再設半徑為的球腔內充滿電荷密度為的電荷，則其在球內點的電場強度為
式中是由腔心點指向點的位置向量。
那麼，合成電場強度即是原先空腔內任一點的電場強度，即
式中是由球心o點指向腔心點的位置向量。可見，空腔內的電場是均勻的。
2-18 已知介質圓柱體的半徑為a，長度為l，當沿軸線方向發生均勻極化時，極化強度為，試求介質中束縛電荷在圓柱內外軸線上產生的電場強度。
解建立圓柱座標，且令圓柱的下端麵位於xy平面。由於是均勻極化，故只考慮面束縛電荷。而且該束縛電荷僅存在圓柱上下端麵。已知面束縛電荷密度與極化強度的關係為
式中en為表面的外法線方向上單位向量。由此求得圓柱體上端麵的束縛電荷面密度為，圓柱體下端麵的束縛面電荷密度為。
由習題2-9獲知，位於xy平面，面電荷為的圓盤在其軸線上的電場強度為
因此，圓柱下端麵束縛電荷在z軸上產生的電場強度為
而圓柱上端麵束縛電荷在z軸上產生的電場強度為
那麼，上下端麵束縛電荷在z軸上任一點產生的合成電場強度為
2-19 已知內半徑為a，外半徑為b的均勻介質球殼的介電常數為，若在球心放置乙個電量為q的點電荷，試求：①介質殼內外表面上的束縛電荷；②各區域中的電場強度。
解先求各區域中的電場強度。根據介質中高斯定理
在區域中，電場強度為
在區域中，電場強度為
在區域中，電場強度為
再求介質殼內外表面上的束縛電荷。
由於，則介質殼內表面上束縛電荷面密度為
外表面上束縛電荷面密度為
2-20 將一塊無限大的厚度為d的介質板放在均勻電場中，周圍媒質為真空。已知介質板的介電常數為，均勻電場的方向與介質板法線的夾角為，如習題圖2-20所示。當介質板中的電場線方向時，試求角度及介質表面的束縛電荷面密度。
解根據兩種介質的邊界條件獲知，邊界上電場強度切向分量和電通密度的法向分量連續。因此可得
；已知，那麼由上式求得
已知介質表面的束縛電荷，
那麼，介質左表面上束縛電荷面密度為
介質右表面上束縛電荷面密度為
2-21 已知兩個導體球的半徑分別為6cm及12cm，電量均為c，相距很遠。若以導線相連後，試求：①電荷移動的方向及電量；②兩球最終的電位及電量。
電磁場於電磁波指導書
第八章平面電磁波 重點和難點 本章是時變電磁場的重要內容。應將理想介質中的平面波的傳播特性，極化特性，以及平面邊界上的反射和透射等內容作為重中之重。講解傳播特性時，著重介紹波動方程解的物理意義，從相位變化的角度理解頻率和波長的物理含義，以及傳播速度。介紹均勻平面波 非均勻平面波和tem波等概念，以及...
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實驗一電磁波感應器的設計與製作 實驗二電磁波傳播特性實驗 實驗三電磁波的極化實驗 實驗四天線方向圖測量實驗 實驗一電磁波感應器的設計與製作 一 預習要求 1 什麼是法拉第電磁感應定律？2 什麼是電偶極子？3 了解線天線基本結構及其特性。二 實驗目的 1 認識時變電磁場，理解電磁感應的原理和作用。2 ...
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目錄實驗一 gunn振盪器 1 實驗二 調製器和晶體檢波器 8 實驗三 波導內的傳播型別 波長和相位速度 15 實驗四 微波器件引數的測量 q值和諧振腔的頻寬 21 實驗五 微波器件引數的測量 駐波比的測量 26 實驗六 微波器件引數的測量 阻抗測量 30 1 實驗目的 本實驗的目的是學習微波訊號源...