主題：準備知識（一）
學習時間：2023年9月30日－10月6日
內容：這周我們將學習函式的導數與微分。求函式的導數的方法是研究復變函式與積分變換的基礎，尤其是研究解析函式與共形對映的基礎。其學習要求及需要掌握的重點內容如下：
一、導數
（一）導數的定義
定義：設函式在點的某鄰域內有定義，若
存在，則稱函式在點處可導，並稱此極限為在點的導數。記作：；；；
即（二）函式的求導法則
1、函式的和、差、積、商的求導法則
(1)若，則(為常數)
(2)若，則
推廣：(3)若，，
2、初等函式的導數
現將我們已求出的基本初等函式的導數列表如下，作為基本求導公式。
（1）（2）為任意實數）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
例：設，求
解： 二、微分
（一）微分的定義
定義：設函式在處可導，則增量的線性主部稱為在處的微分，記作或，即。
注1：規定，所以的微分記作，所以，因此，導數也叫做微商。
2：由定義知在處可微必可導，可導也必可微。
3：當很小時，有。所以可用微分作近似計算
（很小）
（二）基本初等函式的微分公式與微分運算法則
1、基本微分公式（注意與求導公式的區別）
2、函式和、差、積、商的微分法則（注意與求導法則的區別）
3、復合函式微分法（微分形式的不變性）
設及都可導則復合函式的微分為
於是由,所以復合函式的微分公式也可以寫成
或由此可見無論是自變數還是另乙個變數的可微函式微分形式保持不變。這一性質稱為微分形式不變性。
例：設函式，求
解： 三、高階導數
（一）高階導數的概念
若函式的導函式在點可導，就稱在點的導數為函式在點處的二階導數，記為，即，此時，也稱函式在點處二階可導。
注1：若在區間上的每一點都二次可導，則稱在區間上二次可導，並稱為在上的二階導函式，簡稱二階導數；
2：由二階導數可定義三階導數，由三階導數可定義四階導數，一般地，可由階導數定義階導數。因此，求高階導數是乙個逐次向上求導的過程，無須其它新方法，只用前面的求導就可以了。（請記住方法）
（二）高階導數的運算法則
1、2、（c為常數）
3、……
（萊布尼茲公式）
例：設函式，則
答案：4
解題思路：
四、偏導數
對於二元函式，如果只有自變數變化，而自變數固定，這時它就是的一元函式，這函式對的導數，就稱為二元函式對於的偏導數。
定義：設函式在點的鄰域內有定義，固定，當有增量時，函式的偏增量與之比，當時極限存在，即
稱這極限值為在處對的偏導數，記作，，或。
同樣在對的偏導數為
記作，，或。
偏導數求法：對求導時，看作常數；對求導時，看作常數。（要求掌握求導方法）
例、設則
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