主題：第二章解析函式
第一節解析函式的概念
學習時間：2023年10月29日－11月4日
內容：解析函式是本課程的核心，是復變函式研究的主要物件，它是一類具有某種特性的可微函式。本週首先引入復變函式導數的概念、可導的判定方法，然後介紹解析函式的概念，其學習要求及需要掌握的重點內容如下：
1、深刻理解復變函式的導數及復變函式解析的概念
2、非常熟練地掌握復變函式求導的方法
基本概念：解析函式
知識點：復變函式求導
第一節、解析函式的概念
（要求達到「領會」層次）
一、復變函式的導數與微分:定義：設g是復平面上的開集，ω=f(z)在g內有定義，，如果極限存在，則稱函式f(z)在處可導(可微)，稱該極限值為f(z)在處的導數(微商)，記作。
典型例題：
例、利用導數定義求的導數
解： 二、解析函式的概念
定義：若函式在點的鄰域內處處可導，則稱函式在點處解析；
若函式在區域d內處處可導，則稱函式在區域d內解析，或稱是區域d內的解析函式。
若在點不解析，則稱點為的奇點。
可導法則：
1、四則運算法則
設與在區域d內可導，則有：
（1）（2）
（3）2、復合求導法則
，其中3、反函式的求導法則
，其中與是兩個互為反函式的單值函式，且。
舉例：1、如果（復常數），那麼
2、3、z的任何多項式在整個復平面解析，並且有
4、在復平面上，任何有理函式，除去使分母為零的點外是解析的，它的導數的求法與z是實變數時相同。
典型例題：
例1、指出函式的解析區域，並求出其導數。
分析：利用可導與解析的判別方法找出解析區域，然後用求導公式或
求出其導數。
解：函式的分子與分母均為解析函式，所以在除去分母為零的點外是解析的。又分子在處不為零，故的解析區域為復平面除去兩點，而且。
例2、討論函式的解析性
解：因為在復平面內除點z=0外處處可導，且，
所以在除點z=0外的復平面內，函式處處解析，而點z=0是它的奇點。
《復變函式與積分變換》輔導八
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