一、 知識結構
1.復變函式在一點可導的定義
2.解析函式
3.初等函式
二、 學習要求
⒈理解解析函式的定義，性質及其充分必要條件；
⒉了解函式在一點解析與函式在一點可導的區別；
⒊熟練掌握利用柯西——黎曼條件判別解析函式的方法；
⒋熟練掌握「已知解析函式的實部（或虛部），求該解析函式」的方法。
5.理解與的定義及其主要性質；
6.知道支點概念，了解的定義及其主要性質.
三、 內容提要
1.函式在一點可導的定義是
設函式定義在區域內，，若
存在，則稱此極限為函式在點的導數，記為，即
2.1）
此時，稱函式在點可導，否則，稱函式在點不可導。
2.函式在一點解析的定義是
設函式定義在區域內，為內某一點，若存在乙個鄰域，使得函式在該鄰域內處處可導，則稱函式在點解析。此時稱點為函式的解析點。若函式在點不解析，則稱為函式的奇點。
關於解析函式的定義，有下面的註解：
註解1 解析性與可導性：在乙個點的可導性是乙個區域性概念，而解析性是乙個整體概念；
註解2 函式在乙個點解析，是指在這個點的某個鄰域內解析，因此在此點可導；反之，在乙個點的可導性不能得到在這個點解析。
3.若函式定義在區域內，則函式在區域內為解析函式的充分必要條件是：
⑴與在內可微。
⑵在內成立。
條件⑵稱為柯西——黎曼條件或c.— r.條件。
函式在區域內為解析函式的充分必要條件是：
⑴在內連續．
⑵在內成立．
關於柯西-黎曼條件，有下面的註解：
註解1 解析函式的實部與虛部不是完全獨立的，它們是c-r方程的一組解；
註解2 解析函式的導數形式更簡潔.
4.初等解析函式
整冪函式
定義設，為正整數，稱為整冪函式．
指數函式
定義2.4 設，稱
2.9）
為指數函式，其等式右端中的e為自然對數的底，即．
⑴對任意二複數與,有
⑵在復平面上為解析函式，且有
⑶對任意一複數，有
整數） ⑷只以(為整數)為週期．
⑸的充分必要條件是
為整數）
⑹不存在．
⑺設，若，則；若，則
這便是尤拉公式．
⑻若，則．
三角函式
定義2.6 設為複數，稱
與分別為的正弦函式和余弦函式，分別記作
與正、余弦函式的性質：
⑴與在復平面解析，且有
⑵三角學中實變數的三角函式間的已知公式對復變數的三角函式仍然有效：
例如，由定義可推得
⑶⑷僅在處為零，僅在處為零，其中的為整數．
⑸與均以（為整數)為週期；
⑹命題「若為複數，則」不真．
⑺與均不存在．
同理可以定義其他三角函式：
5.初等多值函式
.根式函式
定義2.9 設，稱滿足
為不小於2的正整數）
的為的次根式函式，或簡稱根式函式，記作
⑴根式函式為多值函式，它不是解析函式．
對於每乙個確定的，都有個不同的與之對應，即有
2.13）
因為根式函式是多值函式，所以，它不是解析函式．
⑵根式函式在從原點起沿正實軸剪開的復平面上可分出個單值函式．
定義設函式為多值函式，若當變點從起始點出發繞一條包圍點的簡單閉曲線連續變動一周再回到起始點時，函式從乙個支變到另乙個支，則稱點為函式的支點．
⑶根式函式的每個單值支在從原點起始沿正實軸剪開的復平面上為解析函式．
對數函式
定義2.10 設，稱滿足
的為的對數函式，記作
註解1、由於對數函式是指數函式的反函式，而指數函式是週期為的週期函式，所以對數函式必然是多值函式；
註解2、。
多值函式的單值化：
1）由於，而是通常正數的自然對數，arg z是多值函式，所以對數函式的多值性是由於輻角函式的多值性引起的，每兩個函式值相差的整數倍；
2）像一樣，取主值，則得到的乙個單值分支，記為，也稱為的主值，即
令由定義2.10可得
整數） 即對於每乙個，有無窮多個不同的，即有
2.19）
與之對應，因此，對數函式為多值函式，從而，它不是解析函式．
一般冪函式
定義：利用對數函式，可以定義冪函式：設是任何複數，則定義的次冪函式為
當為正實數，且時，還規定。
一般冪函式的基本性質：
（1）由於對數函式的多值性，冪函式一般是乙個多值函式；
（2）當是正整數時，冪函式是乙個單值函式；
（3）當（當是正整數）時，冪函式是乙個值函式；
（4）當是有理數時，冪函式是乙個值函式；
（5）當是無理數時，冪函式是乙個無窮值多值函式
反正切函式：
由函式所定義的函式w稱為z的反正切函式，記作，由於
，令，得到，從而
，所以反正切函式是多值解析函式，它的支點是，無窮遠點不是它的支點.
四、 典型例題
例1 試證：函式在復平面上處處不可導。
分析：導數是乙個特定型別的極限，要證明復變函式在某點的極限不存在，只需要找兩條特殊的路徑，使自變數沿這兩條路徑趨於該點時，函式值趨於不同的值。
證對任意點，因
令，於是有
由於上式當沿平行於虛軸的方向趨於點時（即），其極限為；當沿平行於實軸的方向趨於點時（即），其極限為，所以
不存在，故在點處不可導。
由點的任意性，函式於復平面上處處不可導。
例2 試證函式在復平面解析．
證令，則
於是從而有顯然，在復平面上處處連續，且滿足c.— r.條件，故函式在復平面解析。
函式在區域內為解析函式的充分必要條件是為的共軛調和函式。
例3 設，試求以為實部的解析函式，使得．
解依c.— r.條件有
於是由此得從而有因此為任意常數）
故得將代入上式，得
由此得，故得
經驗證，所得既為所求。
例4 試證．
證：設，由定義得及（實）三角函式的性質得
例5 計算．
解：整數）
例6 試證
證：由定義
可得 例7 計算的值．
解由定義得
例8 對於在復平面上的某解析函式，其中．已知其實部和虛部滿足關係，取非負整數，求此解析函式.
解由函式解析，故c-r條件成立．下面推導中需注意到復變函式的實、虛部應為實數.
討論：（1）則 ，故由c-r條件
即得到其中，為任意實數）
故為一條過並平行於軸的直線.
(2)，題給取整數，故.由c-r條件
（其中為任意實常數）
故解析函式為 （即為任意復常數）
例9已知電力線是與實軸相切於原點的圓族，求電場強度.
解本題沒有直接給出電力線方程，但依題意可將其寫為
現在需要將其化為＝常數的形式，從而代表電力線，並檢驗是否為調和函式.
由上式可構建函式為
不難驗證它為調和函式. 利用，得到
根據c-r條件，故
故得到利用c-r條件，可以確定復常數
即常數根據電勢對應於虛部，故電場強度為.
復變函式第五章學習指導
一 知識結構 二 學習要求 了解雙邊冪級數的有關概念 理解孤立奇點的概念，掌握判別孤立奇點類別的方法 了解羅朗定理，熟練掌握將函式在孤立奇點 無窮遠點除外 展成羅朗級數的方法 了解解析函式在其孤立奇點鄰域內的性質。三 內容提要 1.雙邊冪級數 定義稱級數 5.1 為雙邊冪級數，其中與為復常數，稱為雙...
復變函式第四章學習指導
一 知識結構 二 學習要求 了解復級數的基本概念 理解解析函式的冪級數表示 理解收斂圓及收斂半徑的概念 熟練掌握收斂圓及收斂半徑的求法 了解解析函式的零點並掌握其判別方法 熟練掌握將函式在一點展成冪級數的方法 了解解析函式的唯一性定理，掌握其證明方法。三 內容提要 冪級數定義稱形如 4.3 或4.3...
復變函式複習
一知識點 1第一章主要掌握複數的四則運算，複數的代數形式 三角形式 指數形式及其運算。2 第二章主要掌握函式的解析性，會判斷函式是否是解析函式，會求解析函式的導數。3 第三章掌握復變函式積分的計算，掌握柯西積分公式，掌握解析函式與調和級數的關係。4 第四章掌握複數項級數的有關性質，會把乙個函式展開成...