第1節解析函式的孤立奇點
一.解析函式的奇點
1.概念
（1）為是奇點——在不解析，但在的任何乙個鄰域內總有的解析點。
（2） 為的孤立奇點—— 在的某個去心鄰域內解析,且為的奇點。如
都以為孤立奇點。
（3）為的多值性奇點——即支點，在的某個去心鄰域內是多值的。
2.關係
二.解析函式的孤立奇點
1.若為的孤立奇點，則在點的某去心鄰域內可以展開成laurent展式 。
2.孤立奇點的三種型別
定義設為的孤立奇點，則
（1）為可去奇點——在的主要部分為0（即laurent展式不含負冪項）；
（2）為的級極點——的主要部分為有限項；
（3）為的本性奇點——在的主要部分有無限多項。
三.可去奇點的特徵（判定）
定理5.3 若為的孤立奇點，則以下條件等價：
（1） 在點的主要部分為0；
（2）（3） 在點的某去心鄰域內有界。
證 「」由於
且在內解
析，從而連續，故 。
「」由於 ,故
取 ，則
即得。「」設 ，
考慮在的主要部分
則對成立，故當時，
即得。例1 證明為的可去奇點。
證由於為的孤立奇點，
在的主要部分為0，故為其可去奇點。
證二由於
故為的可去奇點。
四. 級極點的特徵
1.定理5.4 若以為孤立奇點,則下列三個條件是等價的:
(1) 在點的主要部分為；
(2) 在點的某去心鄰域內能表示成
其中在點的鄰域內解
析且 ；
(3) 以為級零點(可去奇點要
當作解析點看，只要令 。
證 「」 在點的某去心鄰域、內有
其中在的鄰域上解析，且
「」在的某去心鄰域中，
其中在內解析
且，故在點連續，從而存在中
的某乙個鄰域 ，其上 ，從而
在上解析，
故由可去奇點的特
徵知，為的可去奇點，令，
則以為級零點。
「」若以為級零，則在的某個鄰
域內，，其中在
上解析,且,於是存在的某個鄰域,其
上,於是在上解析,故有taylor
展式:故
2.定理5.5 的孤立奇點為極點
證根據定理5.4，以為極點
以零點。
例2 求的奇點,並確定其型別。
解的奇點為，由於
以為一級零點,以為二級零點,故以為
一級極點，以為二級極點。
例3 求的全部有限奇點。並確定其型別。
解的全部有限奇點為,由於
為的聚點，故為的非孤立奇點。
現考慮為的幾級零點。
故為的一級零點，從而為的一級極點。
五.本性奇點的特徵
1.特徵
定理5.6 的孤立奇點為本性奇點，
即不存在。
證由於的孤立奇點為可去奇點為
為極點 ，即得。
例4 以為本性奇點。(取不同的點列,使極限趨於不相同的值。)
2.性質
定理5.7 若為的孤立奇點,且在的充分小的去心鄰域內不為0,則也為的本性奇點。
證令則由為的孤立奇點，且在的充分小的
可去鄰域內知為的孤立奇點。
若為的可去奇點，則；若
則此時為的極點,與已知矛盾；
若,則,此時為的可去奇點,
也與已知矛盾。
若為的極點,則,從而 ，
即為的可去奇點，與已知矛盾。
綜合知，只能是的本性奇點。
例為的本性奇點，因為不存在。
3.解析函式在本性奇點鄰域內的特徵
1.定理5.8（weierstrass）為的本性奇點對於任何常數，有限或無限，都有一收斂於的點列使
證 「」 當時,由於為的本性奇點，故一定不是的可去奇點,由定理5.3，在的任何一
個去心鄰域內無界，對任意的
都存在則
當時,若在的任意小去心鄰域內都有某一點
使,則結論已得。若的充分小去心鄰域
內,令則
在內解析。由於為的本性奇點,也為
的本性奇點,由定理5.7,為的本性
奇點，類似於中的證明由不是的可去奇點
知，存在點列
從而「」根據已知條件得不存在，由定理5.6即得。
第2節解析函式在無窮遠點的性質
一.概念
1.定義設函式在無窮遠點的（去心）鄰域
內解析,則稱為的乙個孤立奇點,若是的奇點
的聚點，則稱為的非孤立奇點。
2.設為孤立奇點,令，則在平
面上的原點的去心鄰域內解析,即
為的孤立奇點。
3.設為的孤立奇點， 在的去
心鄰域內有則
，稱為在的laurent展式，
並稱為在的主要部分,為在的正則部
分。4.定義若為的可去奇點(解析點)、級極點或本性奇點,則相應地稱為的可去奇點(解析點)、級極點或本性奇點。
二.孤立奇點型別的判定
1.定理的孤立奇點為可去奇點充要條件以下條件之一：
(1) 在的主要部分為0；
(2)(3) 在的某去心領域內有界。
2.定理的孤立奇點為級極點的充要條件是以下條件之一：
(1) 在的主要部分為
(2) 在的某去心鄰域內能表成
其中在的鄰域
內解析，且 ；
(3) 以為級零點（只要令
定理的孤立奇點為極點
3.定理的孤立奇點為本性奇點的充要條件是以下條件之一成立：
(1) 在的主要部分有無窮多項；
(2) 不存在。
三.例子
1.指出的奇點及型別。
解的奇點為
,由於,故為可去奇點。
令 ，則 ,
，故為的一級零點，從而為的一級極點。又
當時，，故為的非孤立奇點。
2.把在的去心鄰域內展成laurent級數。
分析若考慮，在內可以展開，但利用
公式，展開整理時，比較麻煩。
解附若要求在展開，則
3.指出的奇點及型別。
解 為的二級極點。對於 ， 由於
,且 ，
故以為**極點。
的奇點為及
故為的可去奇點。
又不存在(理由與不存在的理由相
同)，故為的本性奇點。
4.問在的去心鄰域內能否展成laurent級數？
解 奇點為, 。
由於為的聚點，故的的去心鄰域
內不能展成laurent級數。
5.設在內解析，且不恒為零，若有一列異
於但卻以為聚點的零點，試證必為的本性奇點。
證由於在內解析,故為的孤立奇點。若
為的可去奇點，令，則在
內解析。又由已知必為的非孤立零點，根據解析函式零點的孤立性， 在內必恒為零，矛盾。
若為的極點，則 ，從而 ，
，，故在內
不可能有零點，與已知為的某一列零點的聚點
矛盾。綜上所述，必為的本性奇數。
第2節殘數
在解析,圍線含在的某個鄰域內幷包圍
為的孤立奇點,圍線含在的某去心鄰域內幷包圍 ，則未必為0，如
一.概念
1.定義設以為孤立奇點，即在的某去心鄰域
內解析，則稱積分
為在點的殘數(residuce)，
記為；設為的乙個孤立奇點，即在
的去心鄰域內解析，則稱
為在的殘數,記為，
這裡是指順時針方向。
2.設在內的laurent展式為
且這一展式在上一致收斂，根據逐項積分以
及重要例子，有 ，
故,即為在
處的laurent展式中這一項的係數,與半徑無關；
設在內的laurent展式為
且這一展式在上一致收斂，根據逐項積分以及重要例子，有 ，
故即為在處的laurent展式中這一項的係數的相反數，與半徑無關。
二.結論
1.cauchy殘數定理
定理6.1 在圍線或復圍線所圍區域內，除外解析,在閉域上除外連續，
則 。證取,作以為心,為半徑的圓 ，使 ，且
,在上,由復
圍線cauchy積分定理有，
其中 。
2.殘數和定理
定理6.6 若在擴充復平面上只有有限個孤立奇點，記為，則在各點的殘數總和為零，
即 。證以原點為心作圓周，使都含於的內部，則由
cauchy殘數定理， ,
於是 ，
從而 ，
即得 。
三.殘數的求法
1.當為可去奇點時，。
2.當為本性奇點或的奇點型別不明朗時,用定義中介紹的一般方法，即 。
如3.當為極點時
定理6.2 設為的級極點，，
其中在處解析，，則證設
，則故注此法比較適合於級數較低的極點。
推論6.3 設為的一級極點，
則 。推論6.4 設為的二級極點，
則 。定理6.5 設為的一級極點，
在解析， ,
則 。證
4.對於孤立奇點,除了引入殘數概念時介紹的一般方法——求外，還可以有如下公式 。
證作變換時，積分有相應的換元公式，若
，則 ，因此當取負方向時,
取正方向，於是 。
5.當為可去奇點時， 未必是零，
如 。但是若為的至少二級零點時，
。 證設為的級零點，則，在的
鄰域內解析，且 ，
例1 例2 求 。
解故 例3 設，求 。解原式
例4 求 。
解 故 ，於是 。
例5 求 。
解以為一級極點，
於是例6 求 。
解令 ，由得
方法一由於 ，
且 ，故為的一級極點，
故 。方法二
由於的分子分母都是由冪級數定義了的解析函式,且以0代入分子分母,均不為0，故的laurent展式就是taylor級數，沒有負冪項（可用待定係數的方法表示出來），於是 。
從而 。
例7 求 。
解令,則在擴充復平面上共有七個
奇點，前六
個均在的內部，
故 。方法一
則 ，於是 。
方法二以為一級極點，故
作業 p261:1、（1）（4）2、（1）（2）3、（1）（3）第3節用殘數計算實積分
利用殘數計算實積分沒有普遍適用的方法，這裡只考慮幾種特殊型別的實積分。
一.型表示的有理函式，在上連續。
令，則，當從0變
到時， 沿的正方向饒行一周，於是
例1 求。
解當時， ；
當時，令 ，
當時，在內， 僅
以為一級極點，在上無奇點，故由殘數定理
當時,在內僅以為一級極點,在上
無奇點，
例2 求。
解令 ，則 ，令 ，
則又 ，
若,則,故當饒一周時,饒
二周,在內部，僅有為
一級極點，
故 。例3 求。
解為偶函式，故 ，
令 ，則
在內部僅有為一級極點，
，故 ，
比較實部得 ，故 。
二.型由於，考慮新增輔助曲線與實軸上
是區間構成圍線 ，則
，其中為落在內部的有限個奇點處的殘數和，若能估計出的值，再取極限即得。
1.引理6.1 設在圓弧充分大)上連
續,且在上一致成立(即與
中的無關)，則 。
證 ，由於在上一致成立，故
，2.定理6.7 設為有理分式，其中
，為互質多項式,且
（1） ；
復變函式與積分變換學習指導第二章
第二章解析函式 本章研究復變函式的微分法，解析函式是復變函式論的主要研究物件，我們首先引入判斷函式可微和解析的主要條件 柯西 黎曼條件 其次,把我們熟知的初等函式推廣到複數域上，並研究其性質。第一節解析函式的概念與柯西 黎曼條件 一.復變函式的導數與微分 1.定義設函式在的鄰域內或包含的區域內有定義...
復變函式與積分變換
習題八解答 a類1 用定義求下列函式的拉氏變換,並用查表的方法來驗證結果.123 456 解 1 2 3 4 5 6 2 求下列函式的拉氏變換.12 34 5 解 1 2 3 4 5 3 設是以為週期的函式,且在乙個週期內的表示式為 求 解週期為t的函式的拉氏變換為 因此有 4 求下列函式的拉氏變換...
《復變函式與積分變換》輔導五
主題 第二章解析函式 第一節解析函式的概念 學習時間 2012年10月29日 11月4日 內容 解析函式是本課程的核心，是復變函式研究的主要物件，它是一類具有某種特性的可微函式。本週首先引入復變函式導數的概念 可導的判定方法，然後介紹解析函式的概念，其學習要求及需要掌握的重點內容如下 1 深刻理解復...