一、 知識結構
二、 學習要求
⒈了解雙邊冪級數的有關概念；
⒉理解孤立奇點的概念，掌握判別孤立奇點類別的方法；
⒊了解羅朗定理，熟練掌握將函式在孤立奇點（無窮遠點除外）展成羅朗級數的方法；
⒋了解解析函式在其孤立奇點鄰域內的性質。
三、 內容提要
1.雙邊冪級數
定義稱級數
5.1）
為雙邊冪級數，其中與為復常數，稱為雙邊冪級數（5.1）的係數．
定義若級數（5.1）在圓環內收斂，則稱此圓環為級數（5．1）的收斂圓環．
類似冪級數，雙邊冪級數有如下定理：
定理5.1 若級數（5.1）的收斂圓環為，則級數（5.1）在內絕對收斂，且在內每個較小的同心閉圓環
上一致收斂，其和函式在內為解析函式．
定理5.2 若函式在圓環內解析，則在內可展成雙邊冪級數為
5.4）
其中5.5）
這裡的為圓周，並且係數被及圓環唯一確定．
2.孤立奇點的分類
定義5.2 設點為函式的奇點，若在點的某個去心鄰域內解析，則稱點為函式的孤立奇點．
定義5.3 設點為函式的孤立奇點：
⑴若在點的羅朗級數的主要部分為零，則稱點為的可去奇點；
⑵若在點的羅朗級數的主要部分有有限多項，設為
則稱點為的級（階）極點；
⑶若在點的羅朗級數的主要部分有無限多項，則稱點為的本性奇點．
依定義，點為的可去奇點，點為的二級極點，點為的本性奇點．
3.函式在孤立奇點的去心鄰域內的性質
⑴函式在可去奇點的去心鄰域內的性質
定理5.3 若點為的孤立奇點，則下列三個條件是等價的：
①點為的可去奇點；
②；③函式在點的某個去心鄰域內有界．
⑵函式在極點的去心鄰域內的性質
定理5.4 若點為的孤立奇點，則下列三個條件是等價的．
①點為的級極點；
②在點的某個去心鄰域內可表示為
其中的在點的鄰域內解析，且；
③點為的級零點（可去奇點視作解析點時）．
定理6.5 點為函式的極點的充分必要條件是
⑶函式在本性奇點的去心鄰域內的性質
定理5.5 點為函式的本性奇點的充分必要條件是不存在，即當時，既不趨於有限值，也不趨於．
定理5.7 若點為的本性奇點，且在點的充分小的鄰域內不為零，則點必為的本性奇點．
四、 典型例題
例1 試將在圓環內展成羅朗級數．
解首先，知道在圓環內解析，所以，在該圓環內可展成羅朗級數，且展式是唯一的．
其次，利用展式
將展成羅朗級數．由得及故
例2 試將在點的去心鄰域內展成羅朗級數．
解首先，確定使在其中解析的點的最大去心鄰域為．
其次，將展成羅朗級數，有
例3 設，試求在復平面上的奇點，並判定其類別．
解首先，求的奇點．的奇點出自方程
的解．解方程得
若設，則易知為的孤立奇點．另外，因
所以，由零點的定義知為的一級零點．從而知均為的一級極點．
例4 函式在平面上有兩個奇點：與. 平面可以被分成如下三個互不相交的的解析區域：(1)圓；(2)圓環；(3)圓環，試分別在此三個區域內求的展開式.
解首先將分解成部分分式
(1) 在圓域內，因為，故，於是有
為在圓域內的泰勒展開式.
(2) 在圓環域內，有，，故
(3)在圓環域內，這時，，故
另外，對函式還可以求它在奇點2的去心鄰域的羅朗展開式
這是同乙個函式在不同的圓環域中的羅朗展開式. 顯然在不同的展開區域有不同的展開式，這與羅朗展開式的唯一性並不矛盾.
復變函式與積分變換學習指導第五章
第1節解析函式的孤立奇點 一.解析函式的奇點 1.概念 1 為是奇點 在不解析，但在的任何乙個鄰域內總有的解析點。2 為的孤立奇點 在的某個去心鄰域內解析,且為的奇點。如 都以為孤立奇點。3 為的多值性奇點 即支點，在的某個去心鄰域內是多值的。2.關係 二.解析函式的孤立奇點 1.若為的孤立奇點，則...
復變函式學習指導
一 知識結構 1.復變函式在一點可導的定義 2.解析函式 3.初等函式 二 學習要求 理解解析函式的定義，性質及其充分必要條件 了解函式在一點解析與函式在一點可導的區別 熟練掌握利用柯西 黎曼條件判別解析函式的方法 熟練掌握 已知解析函式的實部 或虛部 求該解析函式 的方法。5.理解與的定義及其主要...
第五章函式
1 print star printf n main 6 輸入整數n和k，輸出n中從右端開始的第k個數字的值 k從1開始 將求n中右端第k個數字定義成函式digit n，k 如果k超過了n的位數，則函式返回 1 否則返回n中第k個數字。例如 設輸入為264539，3，則輸出digit 264539，...