第五章第二節習題
1． 設，在上可測且幾乎處處有限
，證明：在上可積的充要條件是
證明在上可積在上可積，顯然可測（由可測）
若，則則從知。
反過來，若，則
所以此時，可積，從而可積。
證畢2． 證明，分別在和上不可積。
證明顯然在上連續，從而非負可測。
（p142 th2）
（積分不分開區間還是閉區間）
所以在上不可積。（p142 th1 可積於也可積於）
則在上不可積。
令知則在上不可積。
3.設在意義下的廣義積分是絕對收斂的，證明在上可積，且
證明 1）在上可測。
事實上，在上廣義可積充分大，在上可積,故在上有界，且可積。由p156th8 在上幾乎處處連續，且可測（p157： 於，為簡單函式，可測）
由的任意性，知在上可測於
2）在上可積。我們只用證。
充分大，由作為廣義絕對收斂，知在上（有界）可積，且
由1）已知在上可測，從而也可測於，再由p142定理已知在上可積知在上可積且且令
則於。，，
由levi定理
則則在上可積。
3）從（前已證）
只用證，於。
由控制收斂定理，知
4.設，證明如果，都是上的可積函式，且在上一致收斂於，則也在上可積且
證明從於，知，則可測於
另一方面
(1)事實上，若（a）,則顯然（1）成立。
若（b），，則
故（1）成立
若（c），
則若（d），
則（1）成立。
由（1）和於知
（2）同理（3）
故於由準則知， ， ，，，
（由）則
所以存在且有限。
由引理和（2）（3）知
故在上非負可積，從而有在上可積。
從於知 ， ，當時有則時則
5.設f是一族在上可積的函式
證明f是積分等度絕對連續的充分條件是對任意，都有使
證明設，則
若f是等度絕對連續，則 ， ，使得當可測集且時，
，有對上述和存在，使，故，可積，故
故，故得證。
反過來，若 ，，使，則 ，使
令則當可測集，且時，，可積，故
於是積分等度絕對連續。
6.證明
證明顯然在上非負連續，從而非負可測。故存在（有限或正無窮）。又時
，在上非負可測，由
基本定理
，令，則非負可測，單調上公升（關於！）且
故由定理
（因為在上連續，p142th2）
則綜上有
結論（1）得證
注意上面的論證，固然也可用本節練習3的結論先驗證廣義積分
絕對收斂，從而有
但交換順序導致不方便，還是要用基本定理，反而多了一道手續
（2）則
顯然時，收斂，故絕對收斂於
注意時， 是正項級數。
而時，是上的可積函式。由基本定理
由控制收斂定理
則（用分部積分法或用）則
為求，考慮在上的付里葉展式設則
則由於充分光滑，故（由，）即則
證畢。7.證明
證明令，則非負連續於，
當時（當）
當時（若）
令則對一切有
在和上分別非負可測。從p104定理4知在上廣義絕對可積知在上可積，由控制收斂定理知
（定理）
第二問題的解：令則
當時則在時是的增函式。
又顯然則於上，從而於上。
所以在上單調遞減
，當時，
令，則於若在上可積，，由控制收斂定理可得
若在上可積，從非負可測，非負可測，由引理知
8.設都是上的可測函式
證明在上幾乎處處絕對收斂，其和函式在上可積，並且
證明可測，則簡單非負可測（p107th7）故由基本定理和本題條件
故在上可積，由p144定理3 於
即在上幾乎處處絕對收斂。
又也為上可測函式，
故由p145 定理4
故在可積，由p142定理2知在上可積令則，
而，而可積
由控制收斂定理
證畢15.利用引理給出情況下的控制收斂定理的乙個更直接初等的證明。
證明設存在非負可積函式使於
則從於知於
故於則於
，令則在上非負可測，且於
由引理由在上非負可積知則則
則所以得證注實際上證了於且在書上要求
實際上只用對幾乎處處有上式即可。
14.設在上可積，，是的一串收斂的可測子集，證明
證明令則從可測，可積知，是上可測函式，由p11習題6的結論
另一方面
則於上另一方面
由條件可積於
故由控制收斂定理
證畢11.設當時是在上可積的函式（這裡是有界閉區間）且有常數使
證明證明使，，，則充分大時
故由條件，在上可積
在上可積
且又由中值定理 則
由控制收斂定理
即由的任意性知序列極限與函式極限的關係知 證畢
9.將中全體有理數排成序列，證明是在上幾乎處處收斂的。
證明 顯然，是上的可測函式
且是上的非負可測函式，也是上的非負可測函式。
由基本定理
故故幾乎處處收斂。
10.設，證明在上的充要條件是
證明先設則子列
則從於和
有p154有界收斂定理知
反過來，若
，由於在上單調增加
故時，令則則
故於上12.證明：若在上可積，則對任意都有上的連續函式使
如果還是有界的，則上述還可以要求是的多項式。
證明 ，在上可積都在上可積。
若本題結論對非負的成立，則對一般也成立。
事實上，若結論對成立，則，使，
令， 則
故結論成立。下面假設，在上可積，則由非負可測函式積分的定義
（p131）
則，使，這個有界可測函式滿足
從知則，幾乎處處有限於，由p116th2（lusin定理的另一形式，可不要求）
閉集和，使（1）
時，（2）故則
得證13.證明：若在上可積，為一常數，則
證明由第12題結論上有緊支集的連續函式使
設supp則在上一致連續
則對使得
當（ 用到p141習題17）證畢
注本題的結論可推廣到：
證明完全一樣，用數集的連續性
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