軸對稱變換
1．軸對稱：把乙個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼這兩圖形叫做關於這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折後重合的點是對應點，又叫做對稱點．
2．軸對稱圖形：如果乙個圖形沿著一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做它的對稱軸，這時，我們也就說這個圖形關於這條直線（或軸）對稱．
3．成軸對稱的兩個圖形的主要性質是：
（1）成軸對稱的兩個圖形全等；
（2）如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
4．軸對稱變換的價值：在幾何證題或解題時，如果圖形是軸對稱圖形,則經常
要添設對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質；如果圖形不是軸對稱圖形,往往可選擇某直線為對稱軸，補為軸對稱圖形，或將軸一側的圖形對稱到該軸的另一側，以實現條件的相對集中.
一、軸對稱求幾何最值
【典例1】如圖，已知平面直角座標系，a、b兩點的座標分別為a（2，－3），b（4，－1）．
（1）若p（p，0）是x軸上的乙個動點，則當p=____時，△pab的周長最短；
（2）若c（a，0），d（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當a=____時，四邊形abdc的周長最短；
（3）設m，n分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點m（m，0）、n（0，n），使四邊形abmn的周長最短？若存在，請求出m=____,n=___（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由；
二、圖形的摺疊與軸對稱
1、「摺疊」與相應的「開啟」都是軸對稱操作
【典例2】（2008東營）將一正方形紙片按下列順序摺疊，然後將最後摺疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形將紙片展開，得到的圖形是（ ）
2、圖形的翻摺
【典例3】（09北京）如圖，正方形紙片abcd的邊長為1，m、n分別是ad、bc邊上的點，將紙片的一角沿過點b的直線摺疊，使a落在mn上，落點記為a′，摺痕交ad於點e,若m、n分別是ad、bc邊的中點，則a′n若m、n分別是ad、bc邊的上距dc最近的n等分點（,且n為整數），則a′n用含有n的式子表示）
三、從軸對稱的視角觀察圖形
1、 兩個或兩個以上軸對稱圖形對稱軸重合
【典例4】如圖，ab是⊙的直徑，以ab為一邊作等邊，ac、bc邊分別交⊙於點e、f，連線 af，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
ab.cd.
2、軸對稱與幾何證明
【典例5】（10北京）問題：已知△中，，點是△內的一點，且，．**與度數的比值．
請你完成下列**過程：
先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析並加以證明.
（1） 當時，依問題中的條件補全右圖．
觀察圖形，與的數量關係為 ；
當推出時，可進一步可推出的度數為 ；
可得到與度數的比值為
（2） 當時，請你畫出圖形，研究與度數的比值是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想並加以證明．
1．（2010台灣） 將圖(一)的正方形色紙沿其中一條對角線對折後，再沿原正方形的另一條對角線對折，如圖(二)所示。 最後將圖(二)的色紙剪下一紙片， 如圖(三)所示。若下列有一圖形為圖(三)的展開圖，則此圖為何？
2．（2010江蘇鹽城）小明嘗試著將矩形紙片abcd（如圖①，ad>cd）沿過a點的直線摺疊，使得b點落在ad邊上的點f處，摺痕為ae（如圖②）；再沿過d點的直線摺疊，使得c點落在da邊上的點n處，e點落在ae邊上的點m處，摺痕為dg（如圖③）．如果第二次摺疊後，m點正好在∠ndg的平分線上，那麼矩形abcd長與寬的比值為 ．
3．（2010江蘇揚州）如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝8，bc＝6，按圖中所示方法將△bcd沿bd摺疊，使點c落在邊ab上的點c′處，則摺痕bd的長為
4．（2023年陝西）如圖，在銳角△abc中，ab＝4，∠bac＝45°，∠bac的平分線交bc於點d，m、n分別是ad和ab上的動點，則bm+mn的最小值是
5．（2008北京）已知等邊三角形紙片的邊長為，為邊上的點，過點作交於點．於點，過點作於點，把三角形紙片分別沿按圖1所示方式摺疊，點分別落在點，，處．若點，，在矩形內或其邊上，且互不重合，此時我們稱（即圖中陰影部分）為「重疊三角形」．
（1）若把三角形紙片放在等邊三角形網格中（圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形），點恰好落在網格圖中的格點上．如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形的面積；
（2）實驗**：設的長為，若重疊三角形存在．試用含的代數式表示重疊三角形的面積，並寫出的取值範圍（直接寫出結果，備用圖供實驗，**使用）．
解：（1）重疊三角形的面積為
（2）用含的代數式表示重疊三角形的面積為 ；的取值範圍為 ．
6．（2023年北京）閱讀下列材料：
小貝遇到乙個有趣的問題：在矩形中， cm， cm． 現有一動點按下列方式在矩形內運動：它從點出發，沿著與邊夾角為的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為的方向作直線運動，並且它一直按照這種方式不停地運動，即當點碰到邊，沿與邊夾角為的方向作直線運動，當點碰到邊，再沿著與邊夾角為的方向作直線運動，…，如圖1所示．問p點第一次與d點重合前與邊相碰幾次，p點第一次與d點重合時所經過的路徑的總長是多少． 小貝的思考是這樣開始的 :
如圖2，將矩形沿直線摺疊，得到矩形．由軸對稱的知識，發現，.
請你參考小貝的思路解決下列問題：
（1）點第一次與點重合前與邊相碰次；點從點出發到第一次與點重合時所經過的路徑的總長是 cm；
（2） 進一步**：改變矩形中、的長，且滿足．動點從點出發，按照閱讀材料中動點的運動方式，並滿足前後連續兩次與邊
相碰的位置在矩形相鄰的兩邊上. 若點第一次與點重合前與邊相碰7次，則的值為 .
7．（2006北京）如圖1，是的平分線，請你利用該圖形畫一對以所在直線為對稱軸的全等三角形．
請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖2，在中，是直角，，，分別是，的平分線，，相交於點．請你判斷並寫出與之間的數量關係；
（2）如圖3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他條件不變，
請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
解：畫圖：
8．已知拋物線與軸交於點，與軸分別交於，兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點為線段的乙個三等分點，求直線的解析式；
（3）若乙個動點自的中點出發，先到達軸上的某點（設為點），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點），最後運動到點．求使點運動的總路徑最短的點，點的座標，並求出這個最短總路徑的長．
的座標，並求出這個最短總路徑的長．
解：（1）
（2）（3）
10．（2023年天津）在平面直角座標系中，矩形的頂點o在座標原點，頂點a、b分別在軸、軸的正半軸上，，，d為邊ob的中點.
（ⅰ）若為邊上的乙個動點，當△的周長最小時，求點的座標；
（ⅱ）若、為邊上的兩個動點，且，當四邊形的周長最小時，求點、的座標.
2023年中考數學試題
2014年廣東數學中考試卷 一 選擇題 本大題10小題，每小題3分，共30分 1 在1，0，2，3這四個數中，最大的數是 a 1b 0c 2 d 3 2 在下列交通標誌中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是 abcd 3 計算3a 2a的結果正確的是 a 1b ac a d 5a 4 把分解因式，...
2023年中考數學試題分類彙編壓軸題
24 2010廣東廣州，24，14分 如圖，o的半徑為1，點p是 o上一點，弦ab垂直 apb上任一點 與端點a b不重合 平分線段op，點d是?de ab於點e，以點d 為圓心 de長為半徑作 d，分別過點a b作 d的切線，兩條切線相交於點c 1 求弦ab的長 2 判斷 acb是否為定值，若是，...
2023年中考數學試題評價
4.重點知識重點考查 據統計，非課改區試卷中數與式佔34分，方程與不等式佔11分，函式及其圖象佔35分，統計初步佔8分，三角形佔4分，四邊形佔18分，相似形佔7分，解直角三角形佔7分，圓佔25分.由此可看出，初中數學的重點內容所佔分值比例較大，得到了重點考查.5.構建新穎的實際應用問題背景，充分體現...