理科數學試題
命題人：尹國江審題人：楊曉璐
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60）
1．設集合，則集合的子集個數為
abcd.
2. 如圖，在復平面內，複數，對應的向量分別是，.設複數，若為純虛數，則實數的值為
abcd.
3. 中，角所對的邊分別為，若，，則
abcd.
4. 某幾何體的三檢視如圖所示，圖中小方格的長度為，則該幾何體的體積為
abcd．
5. 已知函式是定義在上的函式，若函式為偶函式，且對任意 ()，都有，則
a． b．
c． d．
6. 若實數滿足約束條件，則的取值範圍是
abcd.
7. 已知等差數列的首項，公差，為數列的前項和.若向量，，且=0，則的最小值為
a． b． c． d．
8. 若展開式的各項係數的絕對值之和為，則展開式中項的係數為.現執行如圖所示的程式框圖，
若輸出的值為，則判斷框()處應填
ab．？
cd．？
9. 點為右支上的一點，其右焦點為， 為線段的中點，且，若，則該雙曲線的離心率為
abcd.
10.已知，如圖，若三稜錐的最長的稜，且，，則此三稜錐的外接球的體積為
abcd.
11.已知函式，對，使得，則的最小值為
a . b． c． d．
12. 若，在區間上有且只有乙個極值點，則的取值範圍
abcd．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.
13. 在航天員進行的一項太空實驗中，要先後實施6個程式，其中程式只能出現在第一步或最後一步，程式實施時必須不相鄰，則實驗順序的編排方法共有種.m]
14. 「若為橢圓（）上異於長軸端點的任一點, 分別是左、右焦點, 若, ，則.」模擬橢圓的性質，可得「若為雙曲線（）右支上除頂點外的任一點, 分別是左、右焦點, 若, ，則
15. 以下四個命題中：
①已知隨機變數且，則；
②已知，表示兩個不同的平面，為平面內的一條直線，則「」是「」的必要不充分條件；
③設是函式的零點，若，則的值滿足；
④命題「存在，使得」的否定是：「對任意的，均有」.
其中真命題的序號為
16．數列滿足，且，，則
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）向量，，若的圖象與直線（）的三個相鄰交點的橫座標分別為，， .
（ⅰ）求函式取得最大值時取值的集合；
（ⅱ）設,,為銳角三角形的三個內角.若,，求的值.
18.（本小題滿分12分）隨著科技的發展，手機已經成為人們不可或缺的交流工具，除傳統的打**外，手機的功能越來越強大，人們可以玩遊戲，看**，觀電影，逛**等，真是「一機在手，天下我有」，所以，有人把喜歡玩手機的人冠上了名號「低頭族」，低頭族已經嚴重影響了人們的生活，一**為調查市民對低頭族的認識，從某社群的500名市民中，隨機抽取100名市民，按年齡情況進行統計的頻率分布表和頻率分布直方圖，
（ⅰ）頻率分布表中的①②位置應填什麼數？並補全頻率分布直方圖，再根據頻率分布直方圖統計這500名志願者的平均年齡；
（ⅱ）在抽出的100名中按年齡採用分層抽樣的方法抽取名採訪，再從這名中選取2名擔任發言人．記這2名志願者中「年齡低於歲」的人數為 ，求的分布列及數學期望．
19.（本小題滿分12分）如圖是圓的直徑，是圓上異於的一點, ,, ,，.
(ⅰ)求證： ；
（ⅱ）若，求面與面所成的銳二面角的余弦值.
20.（本小題滿分12分）橢圓c： (a＞b＞0）的左右焦點分別為f1,f2，點b(0,)為短軸的乙個端點,∠of2b＝60°．
（ⅰ）求橢圓c的方程；
（ⅱ）如圖，過右焦點f2，且斜率k（k≠0）的直線l與橢圓c相交於d，e兩點，a為橢圓的右頂點，直線ae，ad分別交直線x＝3於點m，n，線段mn的中點為p，記直線pf2的斜率為．試問k·是否為定值?若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．
21.（本小題滿分12分）設函式
（ⅰ）令（），若的圖象上任意一點處切線的斜率恆成立，求實數的取值範圍；
（ⅱ）若方程有唯一實數解，求正數的值．
請考生在第(22)，(23)，(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑
22.（本小題滿分10分） 選修4－1：幾何證明選講
如圖，已知是⊙的直徑，是圓上兩點 ，交於點，
若，．（ⅰ）求證求線段的長度．
23. （本小題滿分10分） 選修4－4：座標系與引數方程
以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，圓的極座標方程為.
（ⅰ）求圓的直角座標方程；
（ⅱ）為極點， 為圓上的兩點，且，求的最大值．
24. （本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
設函式.
（ⅰ）解不等式；
（ⅱ）若，成立，求實數t的取值範圍．
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