回顧與思考(2)
教學目標
(一)教學知識點
1．了解點與圓，直線與圓以及圓和圓的位置關係．
2．了解切線的概念，切線的性質及判定．
3．會過圓上一點畫圓的切線．
(二)能力訓練要求
1．通過平移、旋轉等方式，認識直線與圓、圓與圓的位置關係，使學生明確圖形在運動變化中的特點和規律，進一步發展學生的推理能力．
2．通過探索弧長、扇形的面積、圓錐的側面積和全面積的計算公式，發展學生的探索能力．
3．通過畫圓的切線，訓練學生的作圖能力．
4．通過全章內容的歸納總結，訓練學生各方面的能力．
(三)情感與價值觀要求
1．通過探索有關公式，讓學生懂得數學活動充滿探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．
2．經歷觀察、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．
教學重點
1．探索並了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關係．
2．探索切線的性質；能判斷一條直線是否為圓的切線；會過圓上一點畫圓的切線．
教學難點
探索各種位置關係及切線的性質．
教學方法
學生自己交流總結法．
教具準備
投影片五張：
第一張：(記作a)
第二張：(記作b)
第三張：(記作c)
第四張：(記作d)
第五張：(記作e)
教學過程
ⅰ．回顧本章內容
[師]上節課我們對本章的所有知識進行了回顧，並討論了這些知識間的關係，繪製了本章知識結構圖，還對一部分內容進行了回顧，本節課繼續進行有關知識的鞏固．
ⅱ．具體內容鞏固
一、確定圓的條件
[師]作圓的問題實質上就是圓心和半徑的問題，確定了圓心和半徑，圓就隨之確定．我們在探索這一問題時，與作直線模擬，研究了經過乙個點、兩個點、三個點可以作幾個圓，圓心的分布和半徑的大小有什麼特點．下面請大家自己總結．
[生]經過乙個點可以作無數個圓．因為以這個點以外的任意一點為圓心，以這兩點所連的線段為半徑就可以作乙個圓．由於圓心是任意的，因此這樣的圓有無數個．
經過兩點也可以作無數個圓．
設這兩點為a、b，經過a、b兩點的圓，其圓心到a、b兩點的距離一定相等，所以圓心應**段ab的垂直平分線上，在ab的垂直平分線上任意取一點為圓心，這一點到a或b的距離為半徑都可以作乙個經過a、b兩點的圓．因此這樣的圓也有無數個．
經過在同一直線上的三點不能作圓．
經過不在同一直線上的三點只能作乙個圓．要作乙個圓經過a、b、c三點，就要確定乙個點作為圓心，使它到三點a、b、c的距離相等，到a、b兩點距離相等的點**段ab的垂直平分線上，到b、c兩點距離相等的點應**段b、c的垂直平分線上，那麼同時滿足到a、b、c三點距離相等的點應既在ab的垂直平分線上，又在bc的垂直平分線上，既兩條直線的交點，因為交點只有乙個，即確定了圓心．這個交點到a點的距離為半徑，所以這樣的圓只能作出乙個．
[師]經過不在同一條直線上的四個點a、b、c、d能確定乙個圓嗎？
[生]不一定，過不在同一條直線上的三點，我們可以確定乙個圓，如果另外乙個點到圓心的距離等於半徑，則說明四個點在同乙個圓上，如果另外乙個點到圓心的距離不等於半徑，說明四個點不在同乙個圓上．
例題講解(投影片a)
矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同乙個圓上嗎？為什麼？
[師]請大家互相交流．
[生]解：如圖，矩形abcd的對角線ac和bd相交於點o．
∵四邊形abcd為矩形，
∴oa＝oc＝ob＝od．
∴a、b、c、d四點到定點o的距離都等於矩形對角線的一半．
∴a、b、c、d四點在以o為圓心，oa為半徑的圓上．
二、三種位置關係
[師]我們在本章學習了三種位置關係，即點和圓的位置關係；直線和圓的位置關係；圓和圓的位置關係．下面我們逐一來回顧．
1．點和圓的位置關係
[生]點和圓的位置關係有三種，即點在圓外；點在圓上；點在圓內．判斷乙個點是在圓的什麼部位，就是看這一點與圓心的距離和半徑的大小關係，如果這個距離大於半徑，說明這個點在圓外；如果這個距離等於半徑，說明這個點在圓上；如果這個距離小於半徑，說明這個點在圓內．
[師]總結得不錯，下面看具體的例子．
(投影片b)
1．⊙o的半徑r＝5cm，圓心o到直線l的距離d＝od＝3 m．在直線l上有p、q、r三點，且有pd＝4cm，qd＞4cm，rd＜4cm，p、q、r三點對於⊙o的位置各是怎樣的？
2．菱形各邊的中點在同乙個圓上嗎？
分析：要判斷某些點是否在圓上，只要看這些點到圓心的距離是否等於半徑．
[生]1．解：如圖(1)，在rt△opd中，
∵od＝3，pd＝4，
∴op＝＝5＝r．
所以點p在圓上．
同理可知or＝＜5，oq＝＞5．
所以點r在圓內，點q在圓外．
2．如圖(2)，菱形abcd中，對角線ac和bd相交於點o，e、f、g、h分別是各邊的中點．因為菱形的對角線互相垂直，所以△aob、△boc、△cod、△doa都是直角三角形，又由於e、f、g、h分別是各直角三角形斜邊上的中點，所以oe、of、og、oh分別是各直角三角形斜邊上的中線，因此有oe＝ab，of＝bc，og＝cd，oh＝ad，而ab＝bc＝cd＝da．所以oe＝of＝og＝oh．即各中點e、f、g、h到對角線的交點o的距離相等，所以菱形各邊的中點在同乙個圓上．
2．直線和圓的位置關係
[生]直線和圓的位置關係也有三種，即相離、相切、相交，當直線和圓有兩個公共點時，此時直線與圓相交；當直線和圓有且只有乙個公共點時，此時直線和圓相切；當直線和圓沒有公共點時，此時直線和圓相離．
[師]總結得不錯，判斷一條直線和圓的位置關係有哪些方法呢？
[生]有兩種方法，一種就是從公共點的個數來判斷，上面已知討論過了，另一種是比較圓心到直線的距離d與半徑的大小．
當d＜r時，直線和圓相交；
當d＝r時，直線和圓相切；
當d＞r時，直線和圓相離．
[師]很好，下面我們做乙個練習．
(投影片c)
如圖，點a的座標是(－4，3)，以點a為圓心，4為半徑作圓，則⊙a與x軸、y軸、原點有怎樣的位置關係？
分析：因為x軸、y軸是直線，所以要判斷⊙a與x軸、y軸的位置關係，即是判斷直線與圓的位置關係，根據條件需用圓心a到直線的距離d與半徑r比較．o是點，⊙a與原點即是求點和圓的位置關係，通過求oa與r作比較即可．
[生]解：∵a點的座標是(－4，3)，
∴a點到x軸、y軸的距離分別是3和4．
又因為⊙a的半徑為4，
∴a點到x軸的距離小於半徑，到y軸的距離等於半徑．
∴⊙a與x軸、y軸的位置關係分別為相交、相切．
由勾股定理可求出oa的距離等於5，因為oa＞4，所以點o在圓外．
[師]上面我們討論了直線和圓的三種位置關係，下面我們要對相切這種位置關係進行深層次的研究，即切線的性質和判定．
[生]切線的性質是：圓的切線垂直於過切點的直徑．
切線的判定是：經過直徑的一端，並且垂直於這條直徑的直線是圓的切線．
[師]下面我們看它們的應用．
(投影片d)
1．如圖(1)，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝12，bc＝9，d是ab上一點，以bd為直徑的⊙o切ac於點e，求ad的長．
2．如圖(2)，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上的一點，∠cae＝∠b，你認為ae與⊙o相切嗎？為什麼？
分析：1．由⊙o與ac相切可知oe⊥ac，又∠c＝90°，所以△aoe∽△abc，則對應邊成比例，．求出半徑和oa後，由oa－od＝ad，就求出了ad．
2．根據切線的判定，要求ae與⊙o相切，需求∠bae＝90°，由ab為
⊙o的直徑得∠acb＝90°，則∠bac＋∠b＝90°，所以∠cae＋∠bac＝90°，即∠bae＝90°．
[師]請大家按照我們剛才的分析寫出步驟．
[生]1．解：∵∠c＝90°，ac＝12，bc＝9，
∴由勾股定理得ab＝15．
∵⊙o切ac於點e，連線oe，
∴oe⊥ac．
∴oe∥bc．∴△oae∽△bac．
∴，即．
∴．∴oe＝
∴ad＝ab－2od＝ab－2oe＝15－×2＝．
2．解：∵ab是⊙o的直徑，
∴∠acb＝90°．∴∠cab＋∠b＝90°．
∴∠cae＝∠b，
∴∠cab＋∠cae＝90°，
即ba⊥ae．∵ba為⊙o的直徑，
∴ae與⊙o相切．
3．圓和圓的位置關係
[師]還是請大家先總結內容，再進行練習．
[生]圓和圓的位置關係有三大類，即相離、相切、相交，其中相離包括外離和內含，相切包括外切和內切，因此也可以說圓和圓的位置關係有五種，即外離、外切、相交、內切、內含．
[師]那麼應根據什麼條件來判斷它們之間的關係呢？
[生]判斷圓和圓的位置關係；是根據公共點的個數以及乙個圓上的點在另乙個圓的內部還是外部來判斷．
當兩個圓沒有公共點時有兩種情況，即外離和內含兩種位置關係．當每個圓上的點都在另乙個圓的外部時是外離；當其中乙個圓上的點都在另乙個圓的內部時是內含．
當兩個圓有唯一公共點時，有外切和內切兩種位置關係，當除公共點外，每個圓上的點都在另乙個圓的外部時是外切；當除公共點外，其中乙個圓上的點都在另乙個圓的內部時是內切．
兩個圓有兩個公共點時，乙個圓上的點有的在另乙個圓的內部，有的在另乙個圓的外部時是相交．兩圓相交只要有兩個公共點就可判定它們的位置關係是相交．
[師]只有這一種判定方法嗎？
[生]還有用圓心距d和兩圓的半徑r、r之間的關係能判斷外切和內切兩種位置關係，當d＝r＋r時是外切，當d＝r－r(r＞r)時是內切．
[師]下面我們還可以用d與r，r的關係來討論出另外三種兩圓的位置關係，大家分別畫出外離、內含和相交這三種位置關係．探索它們之間的關係，它們的關係可能是存在相等關係，也有可能是存在不等關係．(讓學生探索)大家得出結論了嗎？是不是這樣的．
當d＞r＋r時，兩圓外離；
當r－r＜d＜r＋r時，兩圓相交；
當d＜r－r(r＞r)時，兩圓內含．
(投影片e)
設⊙o1和⊙o2的半徑分別為r、r，圓心距為d，在下列情況下，⊙o1和⊙o2的位置關係怎樣？
①r＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；
②r＝6cm，r＝3cm，d＝0；
③r＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；
④r＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；
⑤r＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；
⑥r＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；
⑦r＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．
[生](1)∵r－r＝3cm＜4cm＜r＋r＝9cm，
∴⊙o1與⊙o2的位置關係是相交；
(2)∵d＜r－r，∴兩圓的位置關係是內含；
(3)∵d＝r－r，∴兩圓的位置關係是內切；
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