第二十一章一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．通過模擬一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次項及其係數、一次項及其係數與常數項等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，會檢驗乙個數是不是一元二次方程的解．
重點通過模擬一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，並能用這些概念解決簡單問題．
難點一元二次方程及其二次項係數、一次項係數和常數項的識別．
活動1 複習舊知
1．什麼是方程？你能舉乙個方程的例子嗎？
2．下列哪些方程是一元一次方程？並給出一元一次方程的概念和一般形式．
(1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)＋1＝0 (4)x2＝1
3．下列哪個實數是方程2x－1＝3的解？並給出方程的解的概念．
a．0 b．1 c．2 d．3
活動2 **新知
根據題意列方程．
1．教材第2頁問題1.
提出問題：
(1)正方形的大小由什麼量決定？本題應該設哪個量為未知數？
(2)本題中有什麼數量關係？能利用這個數量關係列方程嗎？怎麼列方程？
(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之後的方程．
2．教材第2頁問題2.
提出問題：
(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什麼？
(2)比賽隊伍的數量與比賽的場次有什麼關係？如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是20場比賽，那麼究竟比賽多少場？
(3)如果有x個隊參賽，一共比賽多少場呢？
3．乙個數比另乙個數大3，且兩個數之積為0，求這兩個數．
提出問題：
本題需要設兩個未知數嗎？如果可以設乙個未知數，那麼方程應該怎麼列？
4．乙個正方形的面積的2倍等於25，這個正方形的邊長是多少？
活動3 歸納概念
提出問題：
(1)上述方程與一元一次方程有什麼相同點和不同點？
(2)模擬一元一次方程，我們可以給這一類方程取乙個什麼名字？
(3)歸納一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________個未知數，並且未知數的最高次數是________，這樣的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項．
提出問題：
(1)一元二次方程的一般形式有什麼特點？等號的左、右分別是什麼？
(2)為什麼要限制a≠0，b，c可以為0嗎？
(3)2x2－x＋1＝0的一次項係數是1嗎？為什麼？
3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解(根)．
活動4 例題與練習
例1 在下列方程中，屬於一元二次方程的是________．
(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)＋＝2；
(4)2x2－2x(x＋7)＝0.
總結：判斷乙個方程是否是一元二次方程的依據：(1)整式方程；(2)只含有乙個未知數；(3)含有未知數的項的最高次數是2.
注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡後二次項係數為0，這樣的方程不是一元二次方程．
例2 教材第3頁例題．
例3 以－2為根的一元二次方程是( )
a．x2＋2x－1＝0 b．x2－x－2＝0
c．x2＋x＋2＝0 d．x2＋x－2＝0
總結：判斷乙個數是否為方程的解，可以將這個數代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．
練習：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是關於x的一元二次方程，那麼a的取值範圍是________．
2．將下列一元二次方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4頁練習第2題．
4．若－4是關於x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的乙個根，則k的值為________．
答案：略；3.略；
活動5 課堂小結與作業布置
課堂小結
我們學習了一元二次方程的哪些知識？一元二次方程的一般形式是什麼？一般形式中有什麼限制？你能解一元二次方程嗎？
作業布置
教材第4頁習題21.1第1～7題.
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(3課時)
第1課時直接開平方法
理解一元二次方程「降次」——轉化的數學思想，並能應用它解決一些具體問題．
提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2＋c＝0，根據平方根的意**出這個方程，然後知識遷移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
重點運用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，領會降次——轉化的數學思想．
難點通過根據平方根的意**形如x2＝n的方程，將知識遷移到根據平方根的意**形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、複習引入
學生活動：請同學們完成下列各題．
問題1：填空
(1)x2－8xx2；(2)9x2＋12x3x2；(3)x2＋pxx2.
解：根據完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)()2 .
問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什麼不同？二次如何轉化成一次？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我們已經講了x2＝9，根據平方根的意義，直接開平方得x＝±3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？
(學生分組討論)
老師點評：回答是肯定的，把2t＋1變為上面的x，那麼2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的兩根為t1＝1，t2＝－2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是乙個完全平方公式，那麼原方程就轉化為(x＋2)2＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
直接開平方，得：x＋3＝±
即x＋3＝，x＋3＝－
所以，方程的兩根x1＝－3＋，x2＝－3－
解：略．
例2 市**計畫2年內將人均住房面積由現在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率．
分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年後人均住房面積就應該是10＋10x＝10(1＋x)；二年後人均住房面積就應該是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2
解：設每年人均住房面積增長率為x，
則：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接開平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的兩根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2＝－2.2應捨去．
所以，每年人均住房面積增長率應為20%.
(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什麼？
共同特點：把乙個一元二次方程「降次」，轉化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為「降次轉化思想」．
三、鞏固練習
教材第6頁練習．
四、課堂小結
本節課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那麼x＝±轉化為應用直接開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那麼mx＋n＝±，達到降次轉化之目的．若p＜0則方程無解．
五、作業布置
教材第16頁複習鞏固1.
第2課時配方法的基本形式
理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，並能熟練應用它解決一些具體問題．
通過複習可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟．
重點講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟．
難點將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的「化為」的轉化方法與技巧．
一、複習引入
(學生活動)請同學們解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7
老師點評：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那麼可得
x＝±或mx＋n＝±(p≥0)．
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9嗎？
二、探索新知
列出下面問題的方程並回答：
(1)列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什麼不同呢？
(2)能否直接用上面前三個方程的解法呢？
問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6 m，並且面積為16 m2，求場地的長和寬各是多少？
(1)列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而後二個不具有此特徵．
既然不能直接降次解方程，那麼，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：
x2＋6x－16＝0移項→x2＋6x＝16
兩邊加(6/2)2使左邊配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左邊寫成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x1＝2，x2＝－8
可以驗證：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但場地的寬不能是負值，所以場地的寬為2 m，長為8 m.
像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是為了降次，把乙個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．
例1 用配方法解下列關於x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－＝0
三、鞏固練習
教材第9頁練習1，2.(1)(2)．
四、課堂小結
本節課應掌握：
左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程的方程．
五、作業教材第17頁複習鞏固2，3.(1)(2)．
第3課時配方法的靈活運用
了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟．
通過複習上一節課的解題方法，給出配方法的概念，然後運用配方法解決一些具體題目．
重點講清配方法的解題步驟．
難點對於用配方法解二次項係數為1的一元二次方程，通常把常數項移到方程右邊後，兩邊加上的常數是一次項係數一半的平方；對於二次項係數不為1的一元二次方程，要先化二次項係數為1，再用配方法求解．
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