第二十六章二次函式
[本章知識要點]
1.探索具體問題中的數量關係和變化規律．
2.結合具體情境體會二次函式作為一種數學模型的意義，並了解二次函式的有關概念．
3.會用描點法畫出二次函式的圖象，能通過圖象和關係式認識二次函式的性質．
4.會運用配方法確定二次函式圖象的頂點、開口方向和對稱軸．
5.會利用二次函式的圖象求一元二次方程（組）的近似解．
6.會通過對現實情境的分析，確定二次函式的表示式，並能運用二次函式及其性質解決簡單的實際問題．
26．1 二次函式
本課知識要點
通過具體問題引入二次函式的概念，在解決問題的過程中體會二次函式的意義．
[mm及創新思維]
（1）正方形邊長為a（cm），它的面積s（cm2）是多少？
（2）矩形的長是4厘公尺，寬是3厘公尺，如果將其長與寬都增加x厘公尺，則面積增加y平方厘公尺，試寫出y與x的關係式．
請觀察上面列出的兩個式子，它們是不是函式？為什麼？如果是函式，請你結合學習一次函式概念的經驗，給它下個定義．
[實踐與探索]
例1． m取哪些值時，函式是以x為自變數的二次函式？
分析若函式是二次函式，須滿足的條件是：．
解若函式是二次函式，則
解得且．
因此，當，且時，函式是二次函式．
回顧與反思形如的函式只有在的條件下才是二次函式．
探索若函式是以x為自變數的一次函式，則m取哪些值？
例2．寫出下列各函式關係，並判斷它們是什麼型別的函式．
（1）寫出正方體的表面積s（cm2）與正方體稜長a（cm）之間的函式關係；
（2）寫出圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函式關係；
（3）某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計利息，求本息和y（元）與所存年數x之間的函式關係；
（4）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積s（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函式關係．
解 （1）由題意，得 ，其中s是a的二次函式；
（2）由題意，得 ，其中y是x的二次函式；
（3）由題意，得 （x≥0且是正整數），
其中y是x的一次函式；
（4）由題意，得 ，其中s是x的二次函式．
例3．正方形鐵片邊長為15cm，在四個角上各剪去乙個邊長為x（cm）的小正方形，用餘下的部分做成乙個無蓋的盒子．
(1)求盒子的表面積s（cm2）與小正方形邊長x（cm）之間的函式關係式；
(2)當小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積．
解 （1）；
（2）當x=3cm時，（cm2）．
[當堂課內練習]
1．下列函式中，哪些是二次函式？
（1） （2）
（34）
2．當k為何值時，函式為二次函式？
3．已知正方形的面積為，周長為x（cm）．
(1)請寫出y與x的函式關係式；
(2)判斷y是否為x的二次函式．
[本課課外作業]
a組1． 已知函式是二次函式，求m的值．
2． 已知二次函式，當x=3時，y= -5，當x= -5時，求y的值．
3． 已知乙個圓柱的高為27，底面半徑為x，求圓柱的體積y與x的函式關係式．若圓柱的底面半徑x為3，求此時的y．
4． 用一根長為40 cm的鐵絲圍成乙個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函式關係式．這個函式是二次函式嗎？請寫出半徑r的取值範圍．
b組5．對於任意實數m，下列函式一定是二次函式的是
a． b． c． d．
6．下列函式關係中，可以看作二次函式（）模型的是 （ ）
a． 在一定的距離內汽車的行駛速度與行駛時間的關係
b． 我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的變化關係
c． 豎直向上發射的訊號彈，從發射到落回地面，訊號彈的高度與時間的關係（不計空氣阻力）
d． 圓的周長與圓的半徑之間的關係
[本課學習體會]
§26.2 用函式觀點看一元二次方程（第一課時）
教學目標
(一)知識與技能
1．經歷探索二次函式與一元二次方程的關係的過程，體會方程與函式之間的聯絡．
2．理解二次函式與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函式與y=h(h是實數)交點的橫座標．
(二)過程與方法
1．經歷探索二次函式與一元二次方程的關係的過程，培養學生的探索能力和創新精神．
2．通過觀察二次函式圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養學生的數形結合思想．
3．通過學生共同觀察和討論．培養大家的合作交流意識．
(三)情感態度與價值觀
1．經歷探索二次函式與一元二次方程的關係的過程，體驗數學活動充滿著探索與創造．感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性，
2．具有初步的創新精神和實踐能力．
教學重點
1．體會方程與函式之間的聯絡．
2．理解何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實數和沒有實根．
3.理解一元二次方程的根就是二次函式與y=h(h是實數)交點的橫座標．
教學難點
1．探索方程與函式之間的聯絡的過程．
2．理解二次函式與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係．
教學過程
ⅰ.創設問題情境，引入新課
1.我們學習了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函式y＝kx+b(k≠0)後，討論了它們之間的關係．當一次函式中的函式值y=0時，一次函式y=kx+b就轉化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函式)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸交點的橫座標即為一元一次方程kx+b＝0的解．
現在我們學習了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函式y＝ax2+bx+c(a≠0)，它們之間是否也存在一定的關係呢?
2.選教材提出的問題，直接引入新課
ⅱ．合作交流解讀**
1.二次函式與一元二次方程之間的關係
**：教材問題
師生同步完成.
觀察：教材22頁，學生小組交流.
歸納：先由學生完成，然後師生評價，最後教師歸納.
ⅲ.應用遷移鞏固提高
1 .根據二次函式影象看一元二次方程的根
同期聲2 .拋物線與x軸的交點情況求待定係數的範圍.
3 .根據一元二次方程根的情況來判斷拋物線與x軸的交點情況
ⅳ．總結反思拓展昇華
本節課學了如下內容：
1．經歷了探索二次函式與一元：二次方程的關係的過程，體會了方程與函式之間的聯絡．
2．理解了二次函式與x軸交點的個數
與一元二次方程的根的個數之間的關係，理解了何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實根和沒有實根.
3.數學方法:分類討論和數形結合.
反思：在判斷拋物線與x軸的交點情況時，和拋物線中的二次項係數的正負有無關係？
拓展：教案
ⅴ．課後作業p231.3.5
26．2 二次函式的圖象與性質（1）
[本課知識要點]
會用描點法畫出二次函式的圖象，概括出圖象的特點及函式的性質．
[mm及創新思維]
我們已經知道，一次函式，反比例函式的圖象分別是
那麼二次函式的圖象是什麼呢？
（1）描點法畫函式的圖象前，想一想，列表時如何合理選值？以什麼數為中心？當x取互為相反數的值時，y的值如何？
（2）觀察函式的圖象，你能得出什麼結論？
[實踐與探索]
例1．在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象，並指出它們有何共同點？有何不同點？
（1） （2）
解列表分別描點、連線，畫出這兩個函式的圖象，這兩個函式的圖象都是拋物線，如圖26．2．1．
共同點：都以y軸為對稱軸，頂點都在座標原點．
不同點：的圖象開口向上，頂點是拋物線的最低點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下降；在對稱軸的右邊，曲線自左向右上公升．
的圖象開口向下，頂點是拋物線的最高點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上公升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降．
回顧與反思在列表、描點時，要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性，因為圖象是拋物線，因此，要用平滑曲線按自變數從小到大或從大到小的順序連線．
例2．已知是二次函式，且當時，y隨x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求頂點座標和對稱軸．
解 （1）由題意，得， 解得k=2．
（2）二次函式為，則頂點座標為（0，0），對稱軸為y軸．
例3．已知正方形周長為ccm，面積為s cm2．
（1）求s和c之間的函式關係式，並畫出圖象；
（2）根據圖象，求出s=1 cm2時，正方形的周長；
（3）根據圖象，求出c取何值時，s≥4 cm2．
分析此題是二次函式實際應用問題，解這類問題時要注意自變數的取值範圍；畫圖象時，自變數c的取值應在取值範圍內．
解 （1）由題意，得．
列表：描點、連線，圖象如圖26．2．2．
（2）根據圖象得s=1 cm2時，正方形的周長是4cm．
（3）根據圖象得，當c≥8cm時，s≥4 cm2．
回顧與反思
（1）此圖象原點處為空心點．
（2）橫軸、縱軸字母應為題中的字母c、s，不要習慣地寫成x、y．
（3）在自變數取值範圍內，圖象為拋物線的一部分．
[當堂課內練習]
1．在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象，並分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂點座標．
（123）
2．（1）函式的開口 ，對稱軸是 ，頂點座標是
（2）函式的開口 ，對稱軸是 ，頂點座標是
3．已知等邊三角形的邊長為2x，請將此三角形的面積s表示成x的函式，並畫出圖象的草圖．
[本課課外作業]
a組1．在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象．
（12）
2．填空：
（1）拋物線，當x= 時，y有最值，是 ．
（2）當m= 時，拋物線開口向下．
九年級數學上冊 人教版 教案
第二十一章一元二次方程 21 1 一元二次方程 1 通過模擬一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2 bx c 0 a 0 分清二次項及其係數 一次項及其係數與常數項等概念 2 了解一元二次方程的解的概念，會檢驗乙個數是不是一元二次方程的解 重點通過模擬一元一次方程，了解一元二次方程的概念...
九年級數學上冊
第二十四章圓 測試1 圓 學習要求 理解圓的有關概念，掌握圓和弧的表示方法，掌握同圓的半徑相等這一性質 課堂學習檢測 一 基礎知識填空 1 在乙個 內，線段oa繞它固定的乙個端點o 另乙個端點a所形成的 叫做圓 這個固定的端點o叫做 線段oa叫做 以o點為圓心的圓記作 讀作 2 戰國時期的 墨經 中...
人教版九年級數學上冊《配方法2》教案
配方法2 教案 第2課時 教學內容 給出配方法的概念，然後運用配方法解一元二次方程 教學目標 了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟 通過複習上一節課的解題方法，給出配方法的概念，然後運用配方法解決一些具體題目 重難點關鍵 1 重點 講清配方法的解題步驟 2 難點與關鍵 把常數項移到方...