廣州市2013屆高三年級1月調研測試
數學（理科2013.1
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、
座位號填寫在答題卡上.用2b鉛筆將試卷型別（a）填塗在答題卡相應位置上.
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點
塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．作答選做題時，請先用2b鉛筆填塗選做題的題號對應的資訊點，再作答.漏塗、錯塗、多塗的，答案無效.
5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束後，將試卷和答題卡一併交回.
一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知i為虛數單位，則複數ii對應的點位於
2．已知集合，集合，則
abcd．
3．已知函式, 則的值是
abcd．
4.設向量， ，則「」是「//」的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
5．函式的圖象向右平移單位後與函式的圖象重合，
則的解析式是
ab．cd．6．已知四稜錐的三檢視如圖1所示，
則四稜錐的四個側面中面積最大的是
abc． d．
7．在區間和分別取乙個數,記為,
則方程表示焦點在軸上且離心率小於的橢圓的概率為
abcd．
8．在r上定義運算若對任意，不等式
都成立，則實數的取值範圍是
a． b． c． d．
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9. 已知等差數列的前項和為，
若，則的值為 .
10.若的展開式的常數項為84，則的值為 .
11.若直線是曲線的切線，
則實數的值為
12.圓上到直
線的距離為的點的個數是 _ .
13.圖2是乙個演算法的流程圖，則輸出的值是
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
14.（幾何證明選講選做題）
如圖3，已知是⊙的一條弦，點為上一點，
，交⊙於，若，，
則的長是
15．（座標系與引數方程選講選做題）
已知圓的引數方程為為引數), 以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極座標系，直線的極座標方程為, 則直線截圓所得的弦長是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）
已知的內角的對邊分別是,且.
(1) 求的值；
(2) 求的值
17.（本小題滿分12分）
某市四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數如下表所示：
為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校採用分層抽樣的方法從報名參加考試的四
所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調查.
（1）問四所中學各抽取多少名學生？
（2）從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學
的概率；
（3）在參加問卷調查的名學生中，從來自兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學
生，用表示抽得中學的學生人數，求的分布列.
18. （本小題滿分14分）
如圖4,已知四稜錐，底面是正方形，面，
點是的中點，點是的中點,連線,.
(1) 求證：面；
（2）若,，求二面角的余弦值.
19.（本小題滿分14分）
如圖5, 已知拋物線，直線與拋物線交於兩點，
，，與交於點.
(1) 求點的軌跡方程；
(2) 求四邊形的面積的最小值. 圖5
20.（本小題滿分14分）
在數和之間插入個實數,使得這個數構成遞增的等比數列,將這個數
的乘積記為,令,n.
(1)求數列的前項和；
(2)求.
21.（本小題滿分14分）
若函式對任意的實數，，均有，則稱函式
是區間上的「平緩函式」.
(1) 判斷和是不是實數集r上的「平緩函式」，並說明理由；
(2) 若數列對所有的正整數都有，設,
求證：.
廣州市2013屆高三年級調研測試
數學（理科）試題解析 2013-1-9
一、選擇題
1. a
分析：，其對應的點為，位於第一象限
2. d
分析：，，
3. b
分析：，
4. a
分析：當時，有，解得；
所以，但，故「」是「」的充分不必要條件
5. b
分析：逆推法，將的圖象向左平移個單位即得的圖象，
即6. c
分析：三稜錐如圖所示，， ，
，7. b
分析：方程表示焦點在軸且離心率小於的橢圓時，有，
即，化簡得，又，，
畫出滿足不等式組的平面區域，如右圖陰影部分所示，
求得陰影部分的面積為，故
8. c
分析：由題意得，故不等式化為，
化簡得，
故原題等價於在上恆成立，
由二次函式圖象，其對稱軸為，討論得
或，解得或，
綜上可得
二、填空題
9. 分析：方法一、（基本量法）由得，即，
化簡得，故
方法二、等差數列中由可將化為，
即，故10.
分析：，令，得其常數項為，
即，解得
11.分析：設切點為，由得，
故切線方程為，整理得，
與比較得，解得，故
12.分析：圓方程化為標準式為，其圓心座標，
半徑，由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離，由右圖
所示，圓上到直線的距離為的點有4個．
13.分析：由題意
，，，，，，，，
…以上共503行，
輸出的14.
分析：如圖，因為，所以是弦中點，
由相交弦定理知，
即，故15.
分析：圓的引數方程化為平面直角座標方程為，
直線的極座標方程化為平面直角座標方程為，
如右圖所示，圓心到直線的距離，
故圓截直線所得的弦長為
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
（本小題主要考查同角三角函式的關係、正弦定理、二倍角、兩角差的余弦等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
（1）解:∵,
依據正弦定理得1分
即,解得3分
(2)解:∵，
4分5分
6分7分
∵,8分
9分10分
12分17．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機變數的分布列等基礎知識，考查資料處理、推理論證、運算求解能力和應用意識，以及或然與必然的數學思想）
（1）解：由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，
抽取的樣本容量與總體個數的比值為.
∴應從四所中學抽取的學生人數分別為. …………… 4分
（2）解：設「從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所
中學」為事件，
從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有c種，… 5分
這兩名學生來自同一所中學的取法共有cccc. …………… 6分
∴.答：從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學
的概率為7分
(3) 解：由（1）知，在參加問卷調查的名學生中，來自兩所中學的學生人數分別
為. 依題意得，的可能取值為8分
11分 ∴的分布列為：
…………… 12分
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間線面位置關係、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法）
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