試卷型別：a
廣州市2014屆高三年級調研測試
數學（理科2014．1
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2b鉛筆將試卷型別（a）填塗在答題卡相應位置上．
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2b鉛筆填塗選做題的題號對應的資訊點，再作答．漏塗、錯塗、多塗的，答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束後，將試卷和答題卡一併交回．
參考公式：
錐體體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高．
一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知為虛數單位， 則複數的模等於
abcd．
2．設集合，，則等於
abcd．
3．已知向量，，，若，則實數的值為
abcd．
4．定義在上的函式滿足則的值為
ab．2cd．4
5．函式（，，）的部分圖象如圖1所示，則函式對應的解析式為
ab．c． d．
6．執行如圖2的程式框圖，如果輸入的的值是6，那麼輸出的的值是
a．15b．105c．120d．720
7．若點和點到直線的距離依次為1和2，則這樣的直線有
a．1條b．2條c．3條d．4條
8．對於實數a和b，定義運算「*」： *設*，且關於的方程為恰有三個互不相等的實數根，，，則的取值範圍是
abcd．
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9．在等比數列中，若，則 ．
10．若，滿足約束條件則的最大值為_______．
11．如圖3，設是圖中邊長為4的正方形區域，是內函式圖象下方的點構成的區域．在內隨機取一點，則該點落在中的概率為 ．
12．已知點在曲線（其中為自然對數的底數）上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值範圍是 ．
13．有4名優秀學生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所學校，每所學校至少去一名，則不同的保送方案共有種．
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
14．（幾何證明選講選做題）
如圖4，為⊙的直徑，，弦交於點．
若，，則的長為 ．
15．（座標系與引數方程選講選做題）
若點在曲線（為引數，）上，則的取值範圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
在△中，角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求的值； （2）若，，求的值．
17．（本小題滿分12分）
空氣質素指數(單位:)表示每立方公尺空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣汙染越嚴重．的濃度與空氣質素類別的關係如下表所示：
從甲城市2023年9月份的30天中隨機抽取15天的日均濃度指數資料莖葉圖如圖5所示．
（1）試估計甲城市在2023年9月份30天的空氣質素類別為優或良的天數；
（2）在甲城市這15個監測資料中任取個，設為空氣質素類別為優或良
的天數，求的分布列及數學期望．
18．（本小題滿分14分）
在如圖6的幾何體中，平面為正方形，平面為等腰梯形，∥，，，．
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值．
19．（本小題滿分14分）
已知數列滿足，，．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）是否存在互不相等的正整數，，，使，，成等差數列，且，，
成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請說明理由．
20．（本小題滿分14分）
設函式，.
（1）若曲線與在它們的交點處有相同的切線，求實數，的值；
（2）當時，若函式在區間內恰有兩個零點，求實數的取值範圍；
（3）當，時，求函式在區間上的最小值．
21．（本小題滿分14分）
如圖7，已知橢圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線為．
過橢圓的右焦點作直線，使，又與交於點，設與橢圓的兩個交點由上至下
依次為，．
（1）若與的夾角為60°，且雙曲線的焦距為4，求橢圓的方程；
（2）求的最大值．
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