2009學年高三數學推理與證明測試題(文科)
廣州市玉巖中學吳華東
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的．
1. 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由於這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是（ ）
a．289b．1024 c．1225 d．1378
2．在r上定義運算若不等式對
任意實數成立， 則（ ）
a． b． cd．
3. 已知數列滿足，則=（ ）
a．0bcd．
4．觀察式子：，…，則可歸納出式子為（ ）
ab、cd、
5. 設為正整數, ,
經計算得
觀察上述結果,可推測出一般結論( )
a. b. c. d.以上都不對
6．設是定義在正整數集上的函式，且滿足：「當成立時，總可推出成立」． 那麼，下列命題總成立的是（ ）
ａ．若成立，則成立
ｂ．若成立，則成立
ｃ．若成立，則當時，均有成立
ｄ．若成立，則當時，均有成立
7．設是至少含有兩個元素的集合，在上定義了乙個二元運算「*」（即對任意的，對於有序元素對（），在中有唯一確定的元素與之對應）．若對任意的，有，則對任意的，下列等式中不恆成立的是（ ）
ab．cd．8．是定義在上的非負可導函式，且滿足．對任意正數，若，則必有（ ）
ab．cd．9．對於非零實數，以下四個命題都成立：
③ 若，則若，則．
那麼，對於非零複數，仍然成立的命題的所有序號是（ ）
ab.②③
cd.②④
10.．已知二次函式的導數為，，對於任意實數，有，則的最小值為（ ）
二、填空題：本大題共4小題， 每小題5分，滿分20分．
11．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的稜長的比為1：2，則它們的體積比為
12.已知函式，那麼
13．在△中，射影定理可以表示為，其中分別為角、、的對邊，類似以上定理，在四面體中，、、、分別表示△、△、△、△的面積，，，分別表示面、面、面與底面所成角的大小，請給出乙個空間四面體性質的猜想
14．觀察下列等式：,,
,,由以上等式推測到乙個一般的結論：
對於n三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程．
15．（本小題滿分12分）
用分析法證明：
16．（本小題滿分12分）
用三段論證明函式在（，1上是增函式．
17．（本小題滿分14分）
已知：；
通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出對任意角度都成立的一般性的命題，並給予證明.
18．（本小題滿分14分）
在平面直角座標系o中，直線與拋物線相交於、兩點。
（ⅰ）求證：「如果直線過點，那麼＝」是真命題；
（ⅱ）寫出（ⅰ）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，並說明理由。
19．（本小題滿分14分）
如圖，已知兩個正方形abcd 和dcef不在同一平面內，m，n分別為ab，df的中點。
（i）若cd=2，平面abcd ⊥平面dcef，求直線mn的長；
（ii）用反證法證明：直線me 與 bn 是兩條異面直線。
20．（本小題滿分14分）
已知橢圓具有性質:若是橢圓上關於原點對稱的兩個點,點是橢圓上任意一點,且直線的斜率都存在(記為),則是與點位置無關的定值.試寫出雙曲線的類似性質,並加以證明.
2009學年高三數學推理與證明(文科) 測試題
參***
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算． 共10小題，每小題5分，滿分50分．
1.答案：c．
解析：由圖形可得三角形數構成的數列通項，同理可得正方形數構成的數列通項，則由可排除a、d，又由知必為奇數，故選c．
2.答案：c．
解析：由，得．
3.答案：b．
解析：4.答案：c．
解析：特殊值法，用帶入易選c．
5.答案：c.
解析：由此推知．
6.答案： d．
解析：當時，，從而（）成立．
7.答案： a．
解析：由題設，若，則，與是中唯一確定的元素相矛盾，故選a.
8.答案： b．
解析：建構函式，則．由題設條件知在
上單調遞減，若，則，即．又是定義在上的非負可導函式，所以．故選b．
9．答案：d．
解析：令，則①不成立；由複數的乘法法則知②成立；令，可知③不成立；由得，故或，而，所以，即④ 成立．
10．答案：c
解析：由得；由恒成立，得且，則，
，得．故．選c．
二、填空題:本大題主要考查基本知識和基本運算.本大題共4小題,每小題5分,滿分20分．
11．答案：1：8 w．
12．答案：．
提示：．
13．答案：．
提示：由面積射影法以及二面角的平面的定義．
14．答案：．
解析：：這是一種需模擬推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有，二項指數分別為，因此對於， ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．
15．由於均大於0
要證：，
只需證：
只需證：
只需證：
只需證：168>160，此式明顯成立．
16．證明：定義：如果滿足在其定義域內的某個區間上任取任取、且，
如果有，則稱在該區間上是增函式．
任取、，且，
．因為，所以；又因為、，，所以．
因此，，即．
於是根據三段論，得函式在（，1上是增函式．
17．一般形式:
事實上，證明：左邊 =
= == =（將一般形式寫成
等均正確.）
18． 解：（ⅰ）如果直線軸，則;
如果直線與軸不垂直，設直線的方程為，
綜上，「如果直線過點，那麼＝」是真命題。
（ⅱ）（ⅰ）中命題的逆命題：在平面直角座標系o中，直線與拋物線＝2相交於、兩點。如果 ＝，那麼直線必過點。
設直線與軸的交點座標為，則直線方程為，把它代入得
由，即直線必過點。
中命題的逆命題是假命題。
19．解：（ⅰ）取cd的中點g鏈結mg，ng.
因為abcd，dcef為正方形，且邊長為2，
所以mg⊥cd，mg=2，.
因為平面abcd⊥平面dcef，
所以mg⊥平面dcef，可得mg⊥ng.
所以（ⅱ）假設直線me與bn共面，
則平面mben，且平面mben與平面dcef交於en，
由已知，兩正方形不共面，故平面dcef.
又ab∥cd，所以ab∥平面dcef.而en為平面mben與平面dcef的交線，
所以ab∥en.
又ab∥cd∥ef,
所以en∥ef，這與矛盾，故假設不成立。
所以me與bn不共面，它們是異面直線。
20．解: 雙曲線的類似性質為: 若是雙曲線上關於原點對稱的兩個點,點是雙曲線上任意一點,且直線的斜率都存在(記為),則是與點位置無關的定值.
證明如下:
設點的座標為,則點的座標為,且,
又設點的座標為,則.
將和代入上式,得(定值).
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