試卷型別：a
2023年廣州市普通高中畢業班綜合測試（一）
數學（理科）
2012.3
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分．考試用時120分鐘．
參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高．
方差，其中.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．已知複數（其中，是虛數單位），則的值為
abc．0d．2
2．已知全集，函式的定義域為集合，函式的定義域為集合，則集合
abcd．
3．如果函式的相鄰兩個零點之間的距離為，則的值為
a．3b．6c．12d．24
4．已知點（）是圓：內一點，直線的方程為，那麼直線與圓的位置關係是
a．相離b．相切c．相交 d．不確定
5．已知函式，對於任意正數，是成立的
a．充分非必要條件b．必要非充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
6．已知兩個非零向量與，定義，其中為與的夾角．若，，則的值為
abc．8d．6
7．在△中，，，，在上任取一點，使△為鈍角三角形的概率為
abcd．
8．從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數字中任取3個不同的數字構成空間直角座標系中的點的座標，若是3的倍數，則滿足條件的點的個數為
a．252b．216c．72d．42
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9．如圖1是乙個空間幾何體的三檢視，則該幾何體的體積為 ．
10．已知，則實數的取值範圍為
11．已知冪函式在區間上單調遞增，
則實數的值為 ．
12．已知集合，，若，
則實數的取值範圍為 ．
13．兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖2中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作，第2個五角形數記作，第3個五角形數記作，第4個五角形數記作，……，若按此規律繼續下去，則 ，若，則 ．
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題
14．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓的半徑為，點是弦的中點，
，弦過點，且，則的長為 ．
15．（座標系與引數方程選做題）在平面直角座標系中，已知直線與曲線的
引數方程分別為：（為引數）和：（為引數），
若與相交於、兩點，則 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函式．
（1）求的值；
（2）設，若，求的值．
17．（本小題滿分12分）
如圖4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組（每小組4人）在期末考試中
的數學成績．乙組記錄中有乙個資料模糊，無法確認，在圖中以表示．
已知甲、乙兩個小組的數學成績的平均分相同．
（1）求的值；
（2）求乙組四名同學數學成績的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數學
成績之差的絕對值為，求隨機變數的分布列和均值（數學期望）．
（溫馨提示：答題前請仔細閱讀卷首所給的計算公式及其說明．）
18．（本小題滿分14分）
如圖5所示，在三稜錐中，，平面平面，於點，，，．
（1）證明△為直角三角形；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
19．（本小題滿分14分）
等比數列的各項均為正數，成等差數列，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
20．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左，右兩個頂點分別為、．曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線．設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交於另一點．
（1）求曲線的方程；
（2）設、兩點的橫座標分別為、，證明：；
（3）設與（其中為座標原點）的面積分別為與，且，求的取值範圍．
21．（本小題滿分14分）
設函式(為自然對數的底數)，（）．
（1）證明： ；
（2）當時，比較與的大小，並說明理由；
（3）證明：（）．
2023年廣州市普通高中畢業班綜合測試（一）
數學（理科）試題參***及評分標準
說明：1．參***與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，並給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參***不同，可根據試題主要考查的知識點和能力對照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果後繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定後繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果後繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
二、填空題：本大題查基本知識和基本運算，體現選擇性．共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．第13題僅填對1個，則給3分．
9． 10． 11．3 12． 13．35，10 14． 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查兩角和的正切、誘導公式、同角三角函式的基本關係和兩角差的余弦等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
（1）解1分
3分4分
（2）解：因為5分
6分7分
所以，即
因為由①、②解得9分
因為，所以10分
所以11分
12分17．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查統計、方差、隨機變數的分布列、均值（數學期望）等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及資料處理能力、運算求解能力和應用意識）
（1）解：依題意，得1分
解得2分
（2）解：根據已知條件，可以求得兩組同學數學成績的平均分都為3分
所以乙組四名同學數學成績的方差為.
5分（3）解：分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，共有種可能的結果．……………6分
這兩名同學成績之差的絕對值的所有情況如下表：
所以的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，8，98分
由表可得，，，，
，，，.
所以隨機變數的分布列為：
隨機變數的數學期望為
11分12分
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間線面關係、直線與平面所成角、空間向量及座標運算等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
（1）證明1：因為平面平面，平面平面，平面，，
所以平面1分
記邊上的中點為，在△中，，所以．
因為，，所以．………………3分
因為，所以△為直角三角形．
因為，，
所以．………4分
連線，在△中，因為，，
所以．…………5分
因為平面，平面，所以．
在△中，因為，，
所以6分
在中，因為，，，
所以．所以為直角三角形7分
證明2：因為平面平面，平面平面，平面，，
所以平面1分
記邊上的中點為，在△中，因為，所以．
因為，，所以．………………3分
連線，在△中，因為，，，
所以4分
在△中，因為，，，
所以，所以5分
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