2023年廣州市普通高中畢業班模擬考試
理科數學
注意事項：
1．本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上．
2．回答第ⅰ卷時，選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑．如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號．寫在本試卷上無效．
3．回答第ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
第ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
（1）若全集u=r，集合，，則＝
（a） （b） （c） （d）
（2）已知，是虛數單位，若與互為共軛複數，則
（abcd）
（3）下列說法中正確的是
（a）「」是「函式是奇函式」的充要條件
（b）若，則
（c）若為假命題，則，均為假命題
（d）命題「若，則」的否命題是「若，則」
（4）已知在上是奇函式,且滿足,當時,，則
（ab）
（cd）
（5）執行如圖所示的程式框圖，輸出的結果為
（ab）
（cd）
（6）各項均為正數的等差數列中，，則前12項和的最小值為
（a） （b）
（c） （d）
（7）乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中正檢視與側檢視都是斜邊長為2
的直角三角形，俯檢視是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個
幾何體的體積為
（ab） （cd）
（8）已知，且，函式的影象
的相鄰兩條對稱軸之間的距離等於，則的值為
（abcd）
（9）若實數滿足約束條件則的取值範圍是
（abcd）
（10）過雙曲線的乙個焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，與另一條漸近線交於點，若，則此雙曲線的離心率為
（abc）2d）
（11）將5位同學分別保送到北京大學，上海交通大學，中山大學這3所大學就讀，每所大學至少保送1
人，則不同的保送方法共有
（a） 150種b） 180種c） 240種d）540種
（12）已知的三個頂點，，的座標分別為，o為座標原點，動點滿足，則的最小值是
（abcd）
第ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答．
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分．
（13）已知向量，滿足，在方向上的投影是，則
（14）已知，則
（15）展開式中的常數項為，則
（16）已知為r上的連續可導函式，且，則函式
的零點個數為
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分12分）
設為數列的前項和，已知，對任意，都有．
(ⅰ)求數列的通項公式；
(ⅱ）若數列的前項和為,求證：.
（18）(本小題滿分12分)
如圖，在三稜柱中，側稜底面，，，
分別是線段的中點，過線段的中點作的平行線，分別交，於點，．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
（19）（本小題滿分12分）
計畫在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方公尺）都在40以上.
其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，並假設各年的年入流量相互獨立．
（ⅰ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
（ⅱ）水電站希望安裝的發電機盡可能執行，但每年發電機最多可執行台數受年入流量限制，並有如下關係；
若某台發電機執行，則該台發電機年利潤為5000萬元；若某台發電機未執行，則該台發電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
（20）（本小題滿分12分）
在平面直角座標系中，已知橢圓的離心率，且橢圓上一點到點的距離的最大值為4．
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設，為拋物線上一動點，過點作拋物線的切線交橢圓於，兩點，求面積的最大值．
（21）（本小題滿分12分）
已知函式（為自然對數的底數，為常數）在點處的切線斜率為.
（ⅰ）求的值及函式的極值；
（ⅱ）證明：當時，；
（）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．做答時請寫清題號．
（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，於點，以為直徑的圓與交於點
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若，點**段上移動，,
與相交於點，求的最大值．
（23）（本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，已知曲線：（為引數）與曲線： (為引數，)．
（ⅰ）若曲線與曲線有乙個公共點在x軸上，求的值；
（ⅱ）當時，曲線與曲線交於，兩點，求，兩點的距離．
（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知定義在r上的函式，，存在實數使成立．
（ⅰ）求實數的值；
（ⅱ）若，，求證：．
2023年廣州市普通高中畢業班模擬考試
理科數學答案及評分參考
評分說明:
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果後繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定後繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果後繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數．選擇題不給中間分．
一．選擇題
（1）c （2）a （3）d4）b5）b6）d
（7）a （8）b （9）b （10）c （11）a （12）a
二．填空題
（13）21415）或16）0
（其中第15題中，答對2個給5分，答對1個給3分）
三．解答題
（17）證明：（ⅰ）因為，
當時，，
兩式相減，得，
即，所以當時，.
所以.因為，所以.
（ⅱ）因為，，，
所以．所以． 因為，所以．
因為在上是單調遞減函式，
所以在上是單調遞增函式．
所以當時，取最小值．
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（18）（ⅰ）證明：因為,是的中點,所以,.
因為，分別為，的中點，所以．
所以.因為平面,平面，所以.
又因為在平面內,且與相交,
所以平面.
（ⅱ）解法一:連線,過作於,
過作於,連線.
由（ⅰ）知,平面,
所以平面平面.
所以平面,則.
所以平面,則.
故為二面角的平面角(設為)．
設,則由, ,有,.
又為的中點，則為的中點，所以.
在，，在中，.
從而,．
所以.因為為銳角，
所以．故二面角的余弦值為.
解法二: 設.如圖,過作平行於,以為座標原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角座標系(點與點重合)．
則,.因為為的中點,所以分別為的中點,
故,所以, ,．
設平面的法向量為，
則即故有
從而取,則,
所以是平面的乙個法向量．
設平面的法向量為,
則即故有
從而取,則,
所以是平面的乙個法向量．
設二面角的平面角為,又為銳角，則 .
故二面角的余弦值為.
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（19）解：（i）依題意，
，． 由二項分布，在未來4年中至多有1年入流量超過120的概率為：
．（ⅱ）記水電站年總利潤為（單位：萬元），
由於水庫年入流量總大於40,所以至少安裝1臺．
①安裝1臺發電機的情形：
由於水庫年入流量總大於40，所以一台發電機執行的概率為1，
對應的年利潤，．
②安裝2臺發電機的情形：
當時，一台發電機執行，此時，
因此．當時，兩台發電機執行，此時，
因此.所以的分布列如下：
所以．③安裝3臺發電機的情形：
當時，一台發電機執行，此時，
因此．當時，兩台發電機執行，此時，
此時．當時，三颱發電機執行，此時，
因此．所以的分布列如下：
所以．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝2臺發電機．
（20）解：（ⅰ）因為，所以．
則橢圓方程為即．
設，則當時，有最大值為．
解得，則．
所以橢圓的方程是．
（ⅱ）設曲線：上的點，因為，
所以直線的方程為
將①代入橢圓方程中整理，
得． 則有．
且．所以設點到直線的距離為，則．
所以的面積．
．當時取到「=」，經檢驗此時，滿足題意．
綜上，面積的最大值為．
（21）（）解：由，得.
因為,所以．
所以，.
令,得．
當時,單調遞減；當時,單調遞增.
所以當時,取得極小值,且極小值為無極大值．
（ⅱ）證明：令,則.
由（）得,故在r上單調遞增．
所以當時，，即．
（ⅲ）證明一：①若,則.
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