2023年廣州市普通高中畢業班模擬考試
文科數學
注意事項：
1．本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上．
2．回答第ⅰ卷時，選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑．如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號．寫在本試卷上無效．
3．回答第ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
第ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
（1）若全集u=r，集合，，則＝
（a） （b） （c） （d）
（2）已知，是虛數單位，若與互為共軛複數，則
（abcd）
（3）已知，，且，則向量與夾角的大小為
（abcd）
（4）已知，，，是空間四點，命題甲：，，， 四點不共面，命題乙：直線和不相交，則甲是乙成立的
（a）必要不充分條件b）充分不必要條件
（c）充要條件d）既不充分也不必要條件
（5）設，，，則
（abcd）
（6）已知在上是奇函式,且滿足,當時,，則
（abcd）
（7）乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中正檢視與側檢視都是斜邊
長為2的直角三角形，俯檢視是半徑為1的四分之一圓周和兩條
半徑，則這個幾何體的體積為
（ab）
（cd）
（8）在數列中，已知，則等於
（a） （bcd）
（9）已知，且，函式的影象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等於，則的值為
（abcd）
（10）執行如圖所示的程式框圖，輸出的結果為
（ab）
（cd）
（11）已知雙曲線的右焦點到左頂點的距離等於它到漸近線
距離的2倍，則其漸近線方程為
（a） （b）
（cd）
（12）已知為r上的連續可導函式，且，則函式
的零點個數為
（a）0b）1c）0或1d）無數個
第ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答．
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分．
（13）函式的定義域是
（14）設滿足約束條件則的最大值為
（15）設數列的各項都是正數，且對任意，都有，其中為數列的前項和,則數列的通項公式為 ．
（16）已知以f為焦點的拋物線上的兩點a，b滿足＝2，則弦ab中點到拋物線準線的距離為
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分12分）
已知，，是△中角，，的對邊，且．
（ⅰ）求角的大小；
（ⅱ）若△的面積，，求的值．
（18）（本小題滿分12分）
「冰桶挑戰賽」是一項社交網路上發起的慈善公益活動，活動規定：被邀請者要麼在24小時內接受挑戰，要麼選擇為慈善機構捐款（不接受挑戰），並且不能重複參加該活動．若被邀請者接受挑戰，則他需在網路上發布自己被冰水澆遍全身的**內容，然後便可以邀請另外3個人參與這項活動．假設每個人接受挑戰與不接受挑戰是等可能的，且互不影響．
（ⅰ）若某參與者接受挑戰後，對其他3個人發出邀請，則這3個人中至少有2個人接受挑戰的概率是多少？
（ⅱ）為了解冰桶挑戰賽與受邀者的性別是否有關，某調查機構進行了隨機抽樣調查，調查得到如下列聯表：
根據表中資料，能否有90%的把握認為「冰桶挑戰賽與受邀者的性別有關」？
附：（19）（本小題滿分12分）
在直三稜柱中，，，是的中點，是上一點．
（ⅰ）當時，證明：⊥平面；
（ⅱ）若，求三稜錐的體積．
（20）(本小題滿分12分)
定圓：，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為．
（ⅰ）求軌跡的方程；
（ⅱ）設點，，在上運動，與關於原點對稱，且，當△的面積最小時，求直線的方程．
（21）（本小題滿分12分）
已知函式在處取到極值2.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）設函式，若對任意的，總存在（為自然對數的底數），使得，求實數的取值範圍.
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．做答時請寫清題號．
（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，於點，以為直徑的與交於點
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若，點**段上移動，,
與相交於點，求的最大值．
（23）（本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，已知曲線：（為引數）與曲線： (為引數，)．
（ⅰ）若曲線與曲線有乙個公共點在x軸上，求的值；
（ⅱ）當時, 曲線與曲線交於，兩點，求，兩點的距離．
（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知定義在r上的函式，，存在實數使成立．
（ⅰ）求實數的值；
（ⅱ）若，，求證：．
2023年廣州市普通高中畢業班模擬考試
文科數學答案及評分參考
評分說明:
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果後繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定後繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果後繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數．選擇題不給中間分．
一．選擇題
（1）a （2）d （3）c4）b5）d6）b
（7）a （8）d （9）b （10）b （11）c （12）a
二．填空題
（1314）31516）
三．解答題
（17）解：（ⅰ）由，
得．即．
即．解得或（捨去）．
因為，所以．
（ⅱ）由，得．
因為，所以．
由餘弦定理，
得，故．
根據正弦定理，
得．（18）解：（ⅰ）這3個人接受挑戰分別記為，則分別表示這3個人不接受挑戰．……1分
這3個人參與該項活動的可能結果為：，，，，，，，．共有8種．
其中，至少有2個人接受挑戰的可能結果有：，，，，共有4種．
根據古典概型的概率公式，所求的概率為．
（ⅱ）根據列聯表，得到的觀測值為：
．因為，所以沒有90%的把握認為「冰桶挑戰賽與受邀者的性別有關」．
（19）（ⅰ）證明：因為，是的中點，
所以⊥.
在直三稜柱中，
因為⊥底面， 底面，
所以⊥.
因為∩＝，
所以⊥平面.
因為平面，
所以⊥.
在矩形中，因為，，
所以≌.
所以∠＝∠.所以∠.
（或通過計算, ,得到△為直角三角形）
所以.因為∩＝，
所以⊥平面.
（ⅱ）解：因為，，
因為是的中點，所以.
在△中，，，
所以.因為，所以∽．
所以.所以．
所以.（20）解：（ⅰ）因為點在圓內，所以圓內切於圓.
因為，所以點的軌跡是以， 為焦點的橢圓，
且,所以．
所以軌跡的方程為.
（ⅱ）（1）當為長軸（或短軸）時，依題意知，點就是橢圓的上下頂點（或左右頂點），
此時.（2）當直線的斜率存在且不為時，
設其斜率為，直線的方程為，
聯立方程得
所以.由知，為等腰三角形，為的中點，，
所以直線的方程為，由
解得．．由於，
所以，當且僅當，即時等號成立，
此時面積的最小值是.
因為，所以面積的最小值為，
此時直線的方程為或.
（21）解:（ⅰ）因為，
所以．由在處取到極值2，
所以，，即
解得，．
經檢驗，此時在處取得極值.
所以．（ⅱ）由（ⅰ）知，故在上單調遞增，
由故的值域為.
從而．所以總存在，使得成立，只須．
函式的定義域為，且．
①當時，＞0，函式在上單調遞增，
其最小值為，符合題意．
②當時，在上有，函式單調遞減，在上有，函式單調遞增，所以函式的最小值為．
由，得．從而知，符合題意.
③當時，顯然函式在上單調遞減，
其最小值為，不合題意．
綜上所述，的取值範圍為．
（22）解：（ⅰ） 在中，，於點，
所以，因為是圓的切線，
由切割線定理得．
所以．（ⅱ）因為，所以．
因為線段的長為定值，即需求解線段長度的最小值．
弦中點到圓心的距離最短，此時為的中點，點與點或重合．
因此．（23）解：（ⅰ）曲線：的直角座標方程為．
曲線與軸交點為．
曲線：的直角座標方程為．
曲線與軸交點為．
由，曲線與曲線有乙個公共點在x軸上，知．
（ⅱ）當時, 曲線：為圓．
圓心到直線的距離．
所以兩點的距離．
（24）解：（ⅰ）因為．
要使不等式有解，則，解得．
因為，所以．
（ⅱ）因為，
所以，即．
所以．（當且僅當時，即，等號成立）故．
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