廣州市2013屆高三年級調研測試
數學（理科）試題解析 2013-1-9
一、選擇題
1. a
分析：，其對應的點為，位於第一象限
2. d
分析：，，
3. b
分析：，
4. a
分析：當時，有，解得；
所以，但，故「」是「」的充分不必要條件
5. b
分析：逆推法，將的圖象向左平移個單位即得的圖象，
即6. c
分析：三稜錐如圖所示，， ，
，7. b
分析：方程表示焦點在軸且離心率小於的橢圓時，有，
即，化簡得，又，，
畫出滿足不等式組的平面區域，如右圖陰影部分所示，
求得陰影部分的面積為，故
8. c
分析：由題意得，故不等式化為，
化簡得，
故原題等價於在上恆成立，
由二次函式圖象，其對稱軸為，討論得
或，解得或，
綜上可得
二、填空題
9. 分析：方法一、（基本量法）由得，即，
化簡得，故
方法二、等差數列中由可將化為，
即，故10.
分析：，令，得其常數項為，
即，解得
11.分析：設切點為，由得，
故切線方程為，整理得，
與比較得，解得，故
12.分析：圓方程化為標準式為，其圓心座標，
半徑，由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離，由右圖
所示，圓上到直線的距離為的點有4個．
13.分析：由題意
，，，，，，，，
…以上共503行，
輸出的14.
分析：如圖，因為，所以是弦中點，
由相交弦定理知，
即，故15.
分析：圓的引數方程化為平面直角座標方程為，
直線的極座標方程化為平面直角座標方程為，
如右圖所示，圓心到直線的距離，
故圓截直線所得的弦長為
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
（本小題主要考查同角三角函式的關係、正弦定理、二倍角、兩角差的余弦等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
（1）解:∵,
依據正弦定理得1分
即,解得3分
(2)解:∵，
4分5分
6分7分
∵,8分
9分10分
12分17．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機變數的分布列等基礎知識，考查資料處理、推理論證、運算求解能力和應用意識，以及或然與必然的數學思想）
（1）解：由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，
抽取的樣本容量與總體個數的比值為.
∴應從四所中學抽取的學生人數分別為. …………… 4分
（2）解：設「從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所
中學」為事件，
從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有c種，… 5分
這兩名學生來自同一所中學的取法共有cccc. …………… 6分
∴.答：從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學
的概率為7分
(3) 解：由（1）知，在參加問卷調查的名學生中，來自兩所中學的學生人數分別
為. 依題意得，的可能取值為8分
11分 ∴的分布列為：
…………… 12分
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間線面位置關係、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法）
（1）證法1：取的中點，連線，
∵點是的中點,
1分 ∵點是的中點，底面是正方形，
2分 ∴.
∴四邊形是平行四邊形.
3分 ∵平面，平面，
∴面4分
證法2：連線並延長交的延長線於點，連線，
∵點是的中點，
1分 ∴點是的中點2分
∵點是的中點,
3分 ∵面，平面，
∴面4分
證法3： 取的中點，連線，
∵點是的中點，點是的中點,
∵面，平面，
∴面1分
∵面，平面，
∴面2分
∵，平面，平面，
∴平面面3分
∵平面，
∴面4分
（2）解法1：∵，面，
∴面5分
∵面，6分 過作，垂足為，連線，
∵，面，面，
∴面7分
∵面，8分 ∴是二面角的平面角9分
在rt△中，,，得，
10分 在rt△中，，得，
11分 在rt△中12分
13分 ∴二面角的余弦值為14分
解法2：∵，面，
∴面.在rt△中，,，得，
…………… 5分
以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角座標系6分
則.8分
設平面的法向量為，
由， ，
得令，得，.
∴是平面的乙個法向量11分
又是平面的乙個法向量12分
13分∴二面角的余弦值為14分
19. （本小題滿分14分）
（本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式等基礎知識，考查數形結合、函式與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創新意識）
解法一:
（1）解：設，
∵，∴是線段的中點2分
3分4分
5分 依題意知，
6分把②、③代入①得：，即7分
∴點的軌跡方程為8分
(2)解：依題意得四邊形是矩形，
∴四邊形的面積為9分
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