一．【課標要求】
1．探索並掌握一些基本的數列求前n項和的方法；
2．能在具體的問題情境中，發現數列的數列的通項和遞推關係，並能用有關等差、等比數列知識解決相應的實際問題。
二．【命題走向】
數列求和和數列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數列為工具，綜合運用函式、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函式與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬於中、高檔題目
有關命題趨勢：
1．數列是一種特殊的函式，而不等式則是深刻認識函式和數列的有效工具，三者的綜合題是對基礎和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設計試題，特別是代數推理題是高考的重點；
2．數列推理題是將繼續成為數列命題的乙個亮點，這是由於此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度；
3．數列與新的章節知識結合的特點有可能加強，如與解析幾何的結合等；
4．有關數列的應用問題也一直備受關注
**2023年高考對本將的考察為：
1．可能為一道考察關於數列的推導能力或解決生產、生活中的實際問題的解答題；
2．也可能為一道知識交匯題是數列與函式、不等式、解析幾何、應用問題上等聯絡的綜合題，以及數列、數學歸納法等有機結合
三．【要點精講】
1．數列求通項與和
（1）數列前n項和sn與通項an的關係式：an= 。
（2）求通項常用方法
①作新數列法。作等差數列與等比數列；
②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；
③歸納、猜想法。
（3）數列前n項和
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；
②等差數列中，sm+n=sm+sn+mnd；
③等比數列中，sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn；
④裂項求和
將數列的通項分成兩個式子的代數和，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加抵消掉中間的許多項，這種先裂後消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=－、n·n！
=(n+1)!－n!、cn－1r－1=cnr－cn－1r、=－等
⑤錯項相消法
對乙個由等差數列及等比數列對應項之積組成的數列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數列， 是等比數列，記，則，…
⑥併項求和
把數列的某些項放在一起先求和，然後再求sn。
數列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法
⑦通項分解法：
2．遞迴數列
數列的連續若干項滿足的等量關係an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數列的遞迴關係。由遞迴關係及k個初始值可以確定的乙個數列叫做遞迴數列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數列即為遞迴數列
遞迴數列的通項的求法一般說來有以下幾種：
（1）歸納、猜想、數學歸納法證明。
（2）迭代法。
（3）代換法。包括代數代換，對數代數，三角代數。
（4）作新數列法。最常見的是作成等差數列或等比數列來解決問題
四．【典例解析】
題型1：裂項求和
例1．已知數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。
解析：首先考慮，則=。
點評：已知數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和也可用裂項求和法。
例2．求。
解析：，
點評：裂項求和的關鍵是先將形式複雜的因式轉化的簡單一些。
題型2：錯位相減法
例3．設a為常數，求數列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和。
解析：①若a=0時，sn=0；
②若a=1，則sn=1+2+3+…+n=；
③若a≠1，a≠0時，sn-asn=a（1+a+…+an-1-nan），
sn=。
例4．已知，數列是首項為a，公比也為a的等比數列，令，求數列的前項和。
解析：，
①-②得：，
點評：設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法。
題型3：倒序相加
例5．求。
解析：。 ①
又。 ②
所以。點評：sn表示從第一項依次到第n項的和，然後又將sn表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到sn的一種求和方法。
例6．設數列是公差為，且首項為的等差數列，
求和：解析：因為，，。
點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數列的前項和，是否存在等差數列使得對一切自然數n都成立。
題型4：其他方法
例7．求數列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項和。
解析：本題實質是求乙個奇數列的和。在該數列的前n項中共有個奇數，故。
例8．求數列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項的和。
解析：其和為(1＋3＋……＋3n3n＋1－3-n)。
題型5：數列綜合問題
例9．（2009湖北卷文）設記不超過的最大整數為,令{}=-，則{}，,
a.是等差數列但不是等比數列b.是等比數列但不是等差數列
c.既是等差數列又是等比數列d.既不是等差數列也不是等比數列
【答案】b
【解析】可分別求得，.則等比數列性質易得三者構成等比數列.
例10．(2009湖南卷理)將正⊿abc分割成（≥2，n∈n）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置乙個數，使位於⊿abc的三遍及平行於某邊的任一直線上的數（當數的個數不少於3時）都分別一次成等差數列，若頂點a ,b ,c處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)
答案 解析當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知
即進一步可求得。由上知中有三個數，中有6個數，中共有10個數相加 ，中有15個數相加….，若中有個數相加，可得中有個數相加，且由
可得所以
=題型6：數列實際應用題
例11．某企業進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以後每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以後每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.
若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的複利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？
（取）解析：甲方案是等比數列，乙方案是等差數列，
①甲方案獲利：（萬元），
銀行貸款本息：（萬元），
故甲方案純利：（萬元），
②乙方案獲利：
（萬元）；
銀行本息和：
（萬元）
故乙方案純利：（萬元）；
綜上可知，甲方案更好。
點評：這是一道比較簡單的數列應用問題，由於本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項公式並運用所學過的公式求解
例12．(2023年廣東卷文)（本小題滿分14分）
已知點（1，）是函式且）的圖象上一點，等比數列的前項和為,數列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若數列是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等；
（3）錯位相減法：適用於其中是等差數列，是各項不為0的等比數列。
（4）倒序相加法：類似於等差數列前n項和公式的推導方法.
（5）分組求和法
（6）累加（乘）法等
2．常用結論
（1） 1+2+3+...+n =
（2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）（4）（5）（6）3．數學思想
（1）迭加累加（等差數列的通項公式的推導方法）若，則……；
（2）迭乘累乘（等比數列的通項公式的推導方法）若，則……；
（3）逆序相加（等差數列求和公式的推導方法）；
（4）錯位相減（等比數列求和公式的推導方法）
第12講數列的求和方法
一 知識歸納 1 拆項求和法 將乙個數列拆成若干個簡單數列 如等差數列 等比數列 常數數列等等 然後分別求和.2 併項求和法 將數列的相鄰的兩項 或若干項 並成一項 或一組 得到乙個新的且更容易求和的數列.3 裂項求和法 將數列的每一項拆 裂開 成兩項之差，使得正負項能互相抵消，剩下首尾若干項.4 ...
高一第6講專題 二 數列求和技巧 學生
高一第6講專題 二 之 數列求和技巧 數列求和分三類 1 公式求和 2 計算求和 3 技巧求和 一 公式法 利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.1 等差數列求和公式 2 等比數列求和公式 3 正整數求和 4 平方和 5 立方和 範例1 已知數列是首項，公比的等比數列，是其前項和，...
專題四第3講數列的綜合問題
1 2016 浙江 設數列的前n項和為sn.若s2 4，an 1 2sn 1，n n 則a1 s5 答案 1 121 解析由解得a1 1，a2 3，當n 2時，由已知可得 an 1 2sn 1，an 2sn 1 1，得an 1 an 2an，an 1 3an，又a2 3a1，是以a1 1為首項，以q...