第七講數列求和及綜合運用
一、基礎知識
求數列的前n項和，一般有下列幾種方法：
1．等差數列的前n項和公式：sn
2．等比數列的前n項和公式：
① 當q＝1時，sn當q≠1時，sn
3．一些常見的數列的前n項和1+3+5+……+(2n1)=
5．錯位相減法：適用於乙個等差數列和乙個等比數列對應項相乘構成的數列求和．
6．裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消。
常見的拆項公式有
為公差為的等差數列）
7．裂項分組求和法：把乙個數列分成幾個可直接求和的數列．
二、例題分析
例1. 已知數列：1，，，，…，，求它的前n項的和sn．
解析：先求出通項公式：＝1＋＋＋……＋＝2利用公式法）
再求出：sn＝
2－1裂項分組求和法）
＝2n－＝＋2n－2
例2. 求sn＝1＋＋＋…＋．
解：∵ an＝＝＝2裂項相消法）
∴ sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝
例3. 設等差數列通項公式為an＝2n－1，bn＝an·2n，求數列的前n項和tn．
解析： tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n錯位相減法）
2tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n＋1②
①－②得： ∴－tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(1－n)·2n＋2
例4.列三角形數表
1第一行
2 2第二行
3 4 3第三行
4 7 7 4第四行
5 11 14 11 5
假設第行的第二個數為
（1）依次寫出第六行的所有數字；
（2）歸納出的關係式，並求出的通項公式；
（3）設求證：….
解析：（1）6，16，25，16，6.
(2)由上表可知，，，，故，
所以，（3）由，有
所以，…++……+
三、同步練習
1、數列前n項的和為
2、在正項等比數列中，若，則10 。
3、數列的通項公式是an＝，若前n項之和為10，則項數 120
4、求數列1×4，2×5，3×6，…，，…，前項和=
5、6．已知，則＝ 3.5
7、等差數列中，a2＝6，a5＝15．若bn＝a2n，則數列的前5項和等於 90
8、數列：，則 4
9、計算： .
10、已知數列，滿足, 且， 則
11、數列滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈n*都有：am＋n＝am＋an＋mn，則
12、已知數列滿足.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若數列
（ⅲ）證明：
解析：（ⅰ）由，有
故，數列為公比為2的等比數列
所以有，
所以，數列的通項公式為
（ⅱ）由，得，，
所以有，
所以有，
作差得，
由上式可得，
作差整理得，
所以有，
所以，數列是等差數列
（ⅲ）由，，有
由 有
由，有錯）13、在數列中，，，．
（ⅰ）證明數列是等比數列；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．
（ⅰ）證明：
數列是等比數列
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知，
所以，所以，（ⅲ）證明：要證，即證，
即證，，對任意皆成立。
令，易知，在上單增。
所以，當時，
所以，，對任意皆成立。
所以，不等式，對任意皆成立．
14、已知數列滿足，，
（1）求證：是等比數列； （2）求數列的通項公式；
（3）設，且對於恆成立，求取值範圍
（1）證明： 是等比數列.
(2)解：由（1）可知，是等比數列，且公比為3.
整理得， 所以，數列為公比為的等比數列
所以， 所以，
（3）由，有，得，
所以，得，兩式相減得，
所以，要使對於恆成立
即對於恆成立
只需，故取值範圍為
15、已知點（在函式的圖象上，其中n=1,2,3,….
（ⅰ）證明數列是等比數列；
（ⅱ）設.，求及數列{}的通項；
（ⅲ）記，求數列{}的前n項和sn，並證明
（ⅰ）證明：由點（在函式的圖象上，有
因為所以，數列是等比數列
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知，
得，，所以，數列{}的通項為
所以， 又 又
16、選菜問題：學校餐廳每天**500名學生用餐，每星期一有a、b兩種菜可供選擇。調查資料表明，凡是在這星期一選a種菜的，下星期一會有20%改選b菜；而選b種菜的，下星期一會有30%改選a種菜。
用，分別表示在第個星期選a的人數和選b的人數，如果，求
解：由題可知，，有
可化為故，，所以
明德中學數學競賽培訓第12講數列
第12講 數列的性質 一 知識要點 1 函式觀點下的數列性質 單調性有界性週期性 二 例題剖析 1 設，試證明 該數列是單調遞增數列.2 求的取值範圍，使由遞推式確定的無窮數列是嚴格增加的.3 把個數的嚴格遞增數列放在第一行，將這個數的位置做某種調整後放在第二行，然後把這兩行的對應元素相加，把相加結...
學年高二數學競賽輔導 常見遞推數列通項的求解方法
型別一 可以求和 累加法 例1 在數列中，已知 1，當時，有，求數列的通項公式 練習1 已知，求 型別二 可以求積 累積法 例2 在數列中，已知有，求數列的通項公式 練習2 已知，求 型別三 待定常數法 可將其轉化為，其中，則數列為公比等於a的等比數列，然後求 例3 在數列中，當時，有，求數列的通項...
高二數學文第七周第二次統一作業
高二數學文第七周第二次統一作業 限時45分鐘 班級姓名 一 選擇題 1 直線 t為引數 與二次曲線交於a，b兩點，a，b對應的引數值分別為，則等於 a b c d 2 直線的方程為 t為引數 則上任意一點到點 1,2 的距離為 a tb cd 3 已知直線 t為引數 與橢圓交於a，b兩點，則等於 a...