第12講：數列的性質
一、知識要點：
(1)函式觀點下的數列性質：單調性有界性週期性
二、例題剖析
(1)設，試證明：該數列是單調遞增數列.
(2)求的取值範圍，使由遞推式確定的無窮數列是嚴格增加的.
(3)把個數的嚴格遞增數列放在第一行，將這個數的位置做某種調整後放在第二行，然後把這兩行的對應元素相加，把相加結果所得到的新數列放在第三行，已知第三行的個數仍然是嚴格遞增的，求證：第一行和第二行是相同的.
(4)給定個不相等的正數，用這些數構成的所有可能的和(加數的個數1從)，證明：在這些和中，至少能有個數兩兩不等.
(5)設，且，求證：.
變式1：求證：數列有界.
(6)求證：數列不是有界數列.
變式2： (2023年復旦保送推優)定義在上的函式，
.(1)求 (2)是否存在常數，，有.
(7) 設有正實數列使得表示式之值僅僅依賴於腳標之和，即當時，必有，試證明：數列有界.
(8)已知數列中任何連續三項之和為，並且，求的值.
(9)數列由下列規則確定：當時，，且當時，，求證：這個數列不是週期數列.
(10)實數列滿足條件, ,求證：存在,使得時有
(11)給定整數列滿足，如果此數列的前項的和是，而前項的和是，試求前項的和.
(12) 對任意正整數，令為的各位數字的和的平方，對於，令，求.
三、習題演練
1．已知數列的通項公式為，判斷該數列的增減性與有界性.
補充1：無窮數列滿足，且數列是有界數列，求該數列的通項.
2. 已知數列的通項公式為,求數列中的最小項.
變式3：已知數列的通項公式為為單調遞增數列，求正數的取值範圍.
3.證明：不存在由非負數組成的嚴格遞增數列，使得對任意，均有.
4.設，
，求證：.
5.數列為非負實數，且滿足，，，證明：
().6.數列中, ,若對於一切，
有,且，
則該數列前項的和等於多少.
7.若表示正整數的個位數字，，試求.
8.整數列滿足，且對於每乙個正整數，，這裡的是某乙個固定的正整數.如果，求的所有可能值.
9.已知數列滿足， ，若數列構成的集合為有限集，則應滿足什麼條件.
10.數列滿足及遞推關係，那麼此數列的項數最多有多少項.
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