初一數學競賽培訓講座
第1講數論的方法技巧（上）
數論是研究整數性質的乙個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力.數論問題敘述簡明，「很多數論問題可以從經驗中歸納出來，並且僅用三言兩語就能向乙個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事」.因而有人說：
「用以發現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了.任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，並勸他將來從事數學方面的工作.」所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重.
小學數學競賽中的數論問題，常常涉及整數的整除性、帶餘除法、奇數與偶數、質數與合數、約數與倍數、整數的分解與分拆.主要的結論有：
1．帶餘除法：若a，b是兩個整數，b＞0，則存在兩個整數q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的.特別地，如果r=0，那麼a=bq.
這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數，a是b的倍數.
2．若a|c，b|c，且a，b互質，則ab|c.
3．唯一分解定理：每乙個大於1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，
即 (1)，其中p1＜p2＜…＜pk為質數，a1，a2，…，ak為自然數，並且這種表示是唯一的.（1）式稱為n的質因數分解或標準分解.
4．約數個數定理：設n的標準分解式為（1），則它的正約數個數為：
d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）.
5．整數集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數.因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的.
下面，我們將按解數論題的方法技巧來分類講解.
一、利用整數的各種表示法
對於某些研究整數本身的特性的問題，若能合理地選擇整數的表示形式，則常常有助於問題的解決.這些常用的形式有：
1．十進位制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；
2．帶餘形式：a=bq+r；
3.標準分解式:
4．2的乘方與奇數之積式：n=2mt，其中t為奇數.
例1 紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構成1個四位數，並計算這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差.結果小明發現，無論白色卡片上是什麼數字，計算結果都是1998.
問：紅、黃、藍3張卡片上各是什麼數字？
解：設紅、黃、白、藍色卡片上的數字分別是a3，a2，a1，a0，則這個四位數可以寫成：1000a3+100a2+10a1+a0，
它的各位數字之和的10倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222.
比較上式等號兩邊個位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2.所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8.
例2 在一種室內遊戲中,魔術師要求某參賽者想好乙個三位數,然後魔術師再要求他記下5個數、、、、，並把這五個數加起來求出和n.只要參賽者講出n的大小，魔術師就能說出原數是什麼？如果n=3194，那麼是多少？
解：依題意，得++++=3194.
兩邊同時加上,得:222(a+b+c)=3194+, ∴222(a+b+c)=222×14+86+.
由此可推知: +86是222的倍數,且a+b+c>14.
設+86=222n，考慮到是三位數，依次取n=1，2，3，4，分別得出=136，358，580，802，再結合a+b+c>14，可知原三位數=358.
說明：求解本題所用的基本知識是，正整數的十進位制表示法和最簡單的不定方程.
例3 從自然數1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數使得所取出的數中任意三個數之和能被18整除？
解：設a，b，c，d是所取出的數中的任意4個數，則a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然數.於是c-d=18（m-n）.
上式說明所取出的數中任意2個數之差是18的倍數，即所取出的每個數除以18所得的餘數均相同.設這個餘數為r，則a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整數.
於是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r.
因為18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12.因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數，它們中的任意3個數之和能被18整除.
例4 求自然數n，使得它能被5和49整除，並且包括1和n在內，它共有10個約數.
解：把數n寫成質因數乘積的形式:
由於n能被5和49整除，故3≥1， 4≥2，其餘的指數k為自然數或零.
依題意，有 （1+1）（2+1）…（n+1）=10.
由於3+1≥2， 4+1≥3，且10=2×5，故1+1=2+1=5+1=…=n+1=1，
即1=2=5=…=n=0，n只能有2個不同的質因數5和7，因為4+1≥3＞2，故由
（3+1）（4+1）=10.知， 3+1=5， 4+1=2是不可能的.因而3+1=2， 4+1=5.
即:n=52-1×75-1=5×74=12005.
例5 如果n是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數，那麼n等於多少個2與1個奇數的積？
解：因為210=1024，211=2048＞2000，每乙個不大於2000的自然數表示為質因數相乘，其中2的個數不多於10個，而1024=210，所以，n等於10個2與某個奇數的積.
說明：上述5例都是根據題目的自身特點，從選擇恰當的整數表示形式入手，使問題迎刃而解.
二、列舉法
列舉法（也稱為窮舉法）是把討論的物件分成若干種情況（分類），然後對各種情況逐一討論，最終解決整個問題.
運用列舉法有時要進行恰當的分類，分類的原則是不重不漏.正確的分類有助於暴露問題的本質，降低問題的難度.數論中最常用的分類方法有按模的餘數分類，按奇偶性分類及按數值的大小分類等.
例6 求這樣的三位數，它除以11所得的餘數等於它的三個數字的平方和.
分析與解：三位數只有900個，可用列舉法解決，列舉時可先估計有關量的範圍，以縮小討論範圍，減少計算量.
設這個三位數的百位、十位、個位的數字分別為x，y，z.由於任何數除以11所得餘數都不大於10，所以:x2+y2+z2≤10，
從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3.所求三位數必在以下數中：100，101，102，103，110，111，
112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310.
不難驗證只有100，101兩個數符合要求.
例7 將自然數n接寫在任意乙個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數都能被n整除，那麼n稱為魔術數.問：小於2000的自然數中有多少個魔術數？
解：設p為任意乙個自然數，將魔術數n（n<2000）接後得，下面對n為一位數、兩位數、三位數、四位數分別討論.
（1）當n為一位數時， =10p+n，依題意：n|，則n|10p，由於需對任意p成立，故n|10，所以n=1，2，5；
（2）當n為兩位數時， =100p+n，依題意：n|，則n|100p，由於需對任意p成立，故n|100，所以n=10，20，25，50；
（3）當n為三位數時， =1000p+n，依題意：n|，則n|10p，由於需對任意p成立，故n|1000，所以n=100，125，200，250，500；
（4）當n為四位數時，同理可得n=1000，1250，2000，2500，5000.符合條件的有1000，1250.
綜上所述，魔術數的個數為14個.
說明：（1）我們可以證明：k位魔術數一定是10k的約數，反之亦然.
（2）這裡將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了乙個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決.
例8 有3張撲克牌，牌面數字都在10以內.把這3張牌洗好後，分別發給小明、小亮、小光3人.每個人把自己牌的數字記下後，再重新洗牌、發牌、記數，這樣反覆幾次後，3人各自記錄的數字的和順次為13，15，23.
問：這3張牌的數字分別是多少？
解：13+15+23=51，51=3×17.
因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數字之和是17，可能的情況有下面15種：
(1)1，6，10 (2)1，7，9 (3)1，8，8 (4)2，5，10 (5)2，6，9
(6)2，7，8 (7)3，4，10 (8)3，5，9 (9)3，6，8 (10)3，7，7
(11)4，4，9 (12)4，5，8 (13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6
只有第(8)種情況可以滿足題目要求，即:3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23.
∴這3張牌的數字分別是3，5和9.
例9 寫出12個都是合數的連續自然數.
分析一：在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續的合數：90，91，92，93，94，95，96.我們把篩選法繼續運用下去，把考查的範圍擴大一些就行了.
解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續自然數：
114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126.
分析二：如果12個連續自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數，第3個是4的倍數……第12個是13的倍數，那麼這12個數就都是合數.
又m+2，m+3，…，m+13是12個連續整數，故只要m是2，3，…，13的公倍數，這12個連續整數就一定都是合數.
解法2：設m為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數.m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數，3的倍數，4的倍數……13的倍數，因此12個數都是合數.
說明:我們還可以寫出13！+2，13！
+3，…，13！+13，（其中n！=1×2×3×…×n）這12個連續合數來.
同樣，（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！
+m+1是m個連續的合數.
初一數學競賽培訓上
初一數學競賽培訓第一講 有理數的巧算 方法一 把正 負數分別結合相加 例1 計算 25 29 26 17 33 34 方法二 把相加得0的數分別結合相加 例2 計算 例3 計算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2005 2006 2007 2008 2009 方法三 分數相加，湊整相加 例4 計...
初一數學競賽系列講座 9
應用題 一 一 一 知識要點 1 1 應用題是中學數學的重要內容之一，它著重培養學生理解問題 分析問題和解決問題的能力，解應用題最主要的方法是列方程或方程組。2 2 列方程 組 解應用題的一般步驟是 1 1 弄清題意和題目中的數量關係，用字母表示題目中的乙個未知數 2 2 找出能夠表示應用題全部含義...
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初中數學競賽試題初一年級第一試 一 選擇題 每小題3分，共30分 1 15屆江蘇初一1試 在 3 3，3 3，3 3，33中，最大的是 a 3 3 b 3 3 c 3 3 d 33 2.15屆江蘇初一1試 a的2倍與b的一半之和的平方，減去a b兩數平方和的4倍 用代數式表示應為 a 2a b2 4...