初一數學競賽培訓第一講：有理數的巧算
方法一：把正、負數分別結合相加
例1：計算：－25+29－26+17－33+34
方法二：把相加得0的數分別結合相加
例2：計算：
= 例3：計算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+2005+2006-2007-2008+2009
方法三：分數相加，湊整相加
例4：計算：
例5：計算：
方法四：先適當變形，再結合相加
例6：28+19-49-997+9996
例7：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999
例8：方法五：巧添輔助數相加
例9：或方法六：巧用和逆用乘法分配律
例10：
例11：
第二講有理數的運算要注意什麼
方法一：乘除做得好，需要講技巧
1.先觀察有沒有因數「0」
2.先定、先寫符號
3.除法統一成乘法，小數化為分數，帶分數化為假分數，然後整體運算
4.運用乘法分配律簡便運算
方法二：混合運算要細心，順序、符號要分清
先看運算順序：確定先算什麼，後算什麼，最好每一步用橫線標記。
其次看運算符號：
(1)加減的符號：例 ：-8-6
2) 乘除的符號：例：
3)冪的符號：例：與與
一、要注意運算順序：
例1：計算：
(12)
(3) (4)
二、要注意運算符號：
例2：計算：
(1)(2)三、靈活運用運算律；
(1)(2)(3)(4)第四講有理數
一、有理數的概念及分類。
二、有理數的計算：
1、 善於觀察數字特徵；
2、靈活運用運算法則；
3、掌握常用運算技巧（湊整法、分拆法等）。
三、例題示範
1、數軸與大小
例1.已知數軸上有a、b兩點，a、b之間的距離為1，點a與原點o的距離為3，那麼滿足條件的點b與原點o的距離之和等於多少？滿足條件的點b有多少個？
例2.將這四個數按由小到大的順序，用「」鏈結起來。
提示1：四個數都加上1不改變大小順序；
提示2：先考慮其相反數的大小順序；
提示3：考慮其倒數的大小順序。
例1、 觀察圖中的數軸，用字母a、b、c依次表示點a、b、c對應的數。試確定三個數的大小關係。
分析：由點b在a右邊，知b-a0，而a、b都在原點左邊，故abs0,又c10,故要比較的大小關係，只要比較分母的大小關係。
例2、 在有理數a與b(ba)之間找出無數個有理數。
提示：p=（n為大於是的自然數）
注：p的表示方法不是唯一的。
2、 符號和括號
在代數運算中，添上（或去掉）括號可以改變運算的次序，從而使複雜的問題變得簡單。
例3、 在數1、2、3、…、1990前添上「+」和「 —」並依次運算，所得可能的最小非負數是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注：造零的基本技巧：兩個相反數的代數和為零。
3、算對與算巧
例4、 計算 123…200020012002
提示：1、逆序相加法。2、求和公式：s=(首項+末項)項數2。
例5、 計算 1+234+5+678+9+…2000+2001+2002
提示：仿例5，造零。結論：2003。
例6、 計算
提示1：湊整法，並運用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n 1。
例7、 計算
提示：字母代數，整體化：令，則
例8、 計算
（1）；（2）
提示：裂項相消。
常用裂項關係式：
（12）；
（3）；
（4）。
例9 計算 （n為自然數）
例10、計算 1+2+22+23+…+22000
提示：1、裂項相消：2n=2n+12n；2、錯項相減：令s=1+2+22+23+…+22000，則s=2ss=220011。
例11、比較與2的大小。提示：錯項相減：計算。
第五講有理數的巧算
有理數運算是中學數學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善於根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的演算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性．
1．括號的使用
在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使複雜的問題變得較簡單．
例1 計算：
分析中學數學中，由於負數的引入，符號「+」與「-」具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號．因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．
注意在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成假分數，這樣便於計算．
例2 計算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析直接計算很麻煩，根據運算規則，新增括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第
一、第四項和第
二、第三項分別結合起來計算．
說明加括號的一般思想方法是「分組求和」，它是有理數巧算中的常用技巧．
例3 計算：s=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．
分析不難看出這個算式的規律是任何相鄰兩項之和或為「1」或為「-1」．如果按照將第
一、第二項，第
三、第四項，…，分別配對的方式計算，就能得到一系列的「-1」，於是一改「去括號」的習慣，而取「添括號」之法．
解 s=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．
下面需對n的奇偶性進行討論：
當n為偶數時，上式是n／2個(-1)的和，所以有
當n為奇數時，上式是(n-1)／2個(-1)的和，再加上最後一項(-1)n+1·n=n，所以有
例4 在數1，2，3，…，1998前添符號「+」和「-」，並依次運算，所得可能的最小非負數是多少？
分析與解因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，…，1998之前任意新增符號「+」或「-」，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，…1998中有 1998÷2個奇數，即有999個奇數，所以任意新增符號「+」或「-」之後，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小於1．
現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間新增符號「+」或「-」，顯然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
這啟發我們將1，2，3，…，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則新增符號，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非負數是1．
說明本例中，添括號是為了造出一系列的「零」，這種方法可使計算大大簡化．
2．用字母表示數
我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．
這是乙個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
於是我們得到了乙個重要的計算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2，
這個公式叫平方差公式，以後應用這個公式計算時，不必重複公式的證明過程，可直接利用該公式計算．
例5 計算 3001×2999的值．
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．
例6 計算 103×97×10 009的值．
解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．
例7 計算：
分析與解直接計算繁．仔細觀察，發現分母中涉及到三個連續整數：12 345，12 346，12 347．可設字母n=12 346，那麼12 345=n-1，12 347=n+1，於是分母變為n2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
例8 計算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
分析式子中2，22，24，…每乙個數都是前乙個數的平方，若在(2+1)前面有乙個(2-1)，就可以連續遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1) =264-1．
例9 計算：
分析在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．
這個公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．
本題就是乙個例子．
通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的益處．下面再看乙個例題，從中可以看到用字母表示乙個式子，也可使計算簡化．
例10 計算：
我們用乙個字母表示它以簡化計算．
3．觀察算式找規律
例11 某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，
90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析與解若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大於90的數取「正」，小於90的數取「負」，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)
=1800-1=1799，
平均分為 90+(-1)÷20=89.95．
例12 計算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
分析觀察發現：首先算式中，從第二項開始，後項減前項的差都等於2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等於2000，於是可有如下解法．
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