初中一年級(上)數學競賽輔導資料（1）
數的整除（一）
甲內容提要：
如果整數a除以整數b(b≠0)所得的商a/b是整數，那麼叫做a被b整除。0能被所有非零的整數整除．
一些數的整除特徵
能被7整除的數的特徵：
①抹去個位數 ②減去原個位數的2倍 ③其差能被7整除．
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的數的特徵：
①抹去個位數 ②減去原個位數 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
乙例題例1已知兩個三位數和的和仍是三位數且能被9整除．
求x，y．
解：x，y都是0到9的整數，∵能被9整除，∴y＝6．
∵328＋＝567，∴x＝3
例2己知五位數能被12整除， 求x
解：∵五位數能被12整除，必然同時能被3和4整除，
當1＋2＋3＋4＋x能被3整除時，x＝2，5，8
當末兩位能被4整除時，x＝0，4，8
∴x＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數
解：五位數字都不相同的最小五位數是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只調整末位數仍不行
調整末兩位數為30，41，52，63，均可，
∴五位數字都不相同的最小五位數是10263．
丙練習1. 分解質因數：（寫成質因數為底的冪的連乘積）
①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2. 若四位數能被3整除，那麼a
3. 若五位數能被11整除，那麼x
4. 當 m時，能被25整除．
5. 當 n時，能被7整除．
6. 能被11整除的最小五位數是________，最大五位數是
7. 能被4整除的最大四位數是能被8整除的最小四位數是
8. 8個數：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各數整除的有（填上編號）：
6________，8911
9. 從1到100這100個自然數中，能同時被2和3整除的共_____個．
10. 能被3整除但不是5的倍數的共______個．
11. 由1，2，3，4，5這五個自然數，任意調換位置而組成的五位數中，不能被3整除的數共有幾個？為什麼？
12. 己知五位數能被15整除，試求a的值．
13. 求能被9整除且各位數字都不相同的最小五位數．
14. 在十進位制中，各位數碼是0或1，並能被225整除的最小正整數是＿＿＿＿（2023年全國初中聯賽題）
初中一年級(上)數學競賽輔導資料（2）
倍數約數
甲內容提要
1兩個整數a和b（b≠0），如果b能整除a（記作b｜a），那麼a叫做b的倍數，b叫做a的約數．例如3｜15，15是3的倍數，3是15的約數．
2因為0除以非0的任何數都得0，所以0被非0整數整除．0是任何非0整數的倍數，非．0是任何非0整數的倍數，非如0是7的倍數，7是0的約數．
3整數a（a≠0）的倍數有無數多個，並且以互為相反數成對出現，0，±a，±2a，……都是a的倍數，例如5的倍數有±5，±10，……．
4整數a（a≠0）的約數是有限個的，並且也是以互為相反數成對出現的，其中必包括±1和±a．例如6的約數是±1，±2，±3，±6．
5通常我們在正整數集合裡研究公倍數和公約數，幾正整數有最小的公倍數和最犬的公約數．
6公約數只有1的兩個正整數叫做互質數（例如15與28互質）．
7在有餘數的除法中，
被除數＝除數×商數＋餘數若用字母表示可記作：
a＝bq＋r，當a，b，q，r都是整數且b≠0時，a－r能被b整除
例如23＝3×7＋2 則23－2能被3整除．
乙例題例1寫出下列各正整數的正約數，並統計其個數，從中總結出規律加以
應用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 ．
解：列表如下
其規律是：設a＝ambn (a，b是質數，m，n是正整數)
那麼合數a的正約數的個是（m＋1）(n＋1)
例如求360的正約數的個數
解：分解質因數：360＝23×32×5，
360的正約數的個數是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（個）
例2用分解質因數的方法求24，90最大公約數和最小公倍數
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公約數是2×3， 記作（24，90）＝6
最小公倍數是23×32×5＝360， 記作[24，90]＝360
例3己知32，44除以正整數n有相同的餘數2，求n
解：∵32－2，44－2都能被n整除，∴n是30，42的公約數
∵（30，42）＝6，而6的正約數有1，2，3，6
經檢驗1和2不合題意，∴n＝6，3
例4乙個數被10餘9，被9除餘8，被8除餘7，求適合條件的最小正整數
分析：依題意如果所求的數加上1，則能同時被10，9，8整除，所以所求的數是10，9，8的最小公倍數減去1．
解： ∵[10，9，8]＝360，
∴所以所求的數是359
丙練習2
1. 12的正約數有16的所有約數是
2. 分解質因數300300的正約數的個數是
3. 用分解質因數的方法求20和250的最大公約數與最小公倍數．
4. 乙個三位數能被7，9，11整除，這個三位數是
5. 能同時被3，5，11整除的最小四位數是_______最大三位數是________．
6. 己知14和23各除以正整數a有相同的餘數2，則a
7. 寫出能被2整除，且有約數5，又是3的倍數的所有兩位數．答
8. 乙個長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈要用同一規格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數寸作國邊長，有哪幾種規格的正方形瓷磚適合？
9. 一條長階梯，如果每步跨2階，那麼最後剩1階，如果每步跨3階，那麼最後剩2階，如果每步跨4階，那麼最後剩3階，如果每步跨5階，那麼最後剩4階，如果每步跨6階，那麼最後剩5階，只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？
初中一年級(上)數學競賽輔導資料（3）
質數合數
甲內容提要
1 正整數的一種分類：
質數的定義：如果乙個大於1的正整數，只能被1和它本身整除，那麼這個正整數叫做質數（質數也稱素數）．
合數的定義：乙個正整數除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數．
2 根椐質數定義可知
1 質數只有1和本身兩個正約數，
2 質數中只有乙個偶數2
如果兩個質數的和或差是奇數那麼其中必有乙個是2，
如果兩個質數的積是偶數那麼其中也必有乙個是2，
3任何合數都可以分解為幾個質數的積．能寫成幾個質數的積的正整數就是合數．
乙例題例1兩個質數的和等於奇數a (a≥5)．求這兩個數
解：∵兩個質數的和等於奇數
∴必有乙個是2
所求的兩個質數是2和a－2．
例2己知兩個整數的積等於質數m， 求這兩個數
解：∵質數m只含兩個正約數1和m，
又∵（－1）（－m）＝m
∴所求的兩個整數是1和m或者－1和－m．
例3己知三個質數a，b，c它們的積等於30
求適合條件的a，b，c的值
解：分解質因數：30＝2×3×5
適合條件的值共有：
應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質數a，b，c，d它們的積等於210，即abcd＝2×3×5×7那麼適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來．
例4試寫出4個連續正整數，使它們個個都是合數．
解：（本題答案不是唯一的）
設n是不大於5的所有質數的積，即n＝2×3×5
那麼n＋2，n＋3，n＋4，n＋5就是適合條件的四個合數
即32，33，34，35就是所求的一組數．
本題可推廣到n 個．令n等於不大於n＋1的所有質數的積，那麼n＋2，
n＋3，n＋4，……n＋（n＋1）就是所求的合數．
丙練習3
1. 小於100的質數共___個，它們是
2. 己知質數p與奇數q的和是11，則p＝＿＿，q＝＿＿．
3. 己知兩個素數的差是41，那麼它們分別是＿＿＿＿＿．
4. 如果兩個自然數的積等於19，那麼這兩個數是＿＿＿．
如果兩個整數的積等於73，那麼它們是＿＿＿＿．
如果兩個質數的積等於15，則它們是＿＿＿＿＿．
5. 兩個質數x和y，己知 xy＝91，那麼x＝__，y＝__，或x＝__，y＝__．
6. 三個質數a，b，c它們的積等於1990．那麼
7. 能整除311＋513的最小質數是＿＿．
8. 8，己知兩個質數a和b適合等式a＋b＝99，ab＝m．求m及＋的值．
9. 試寫出6個連續正整數，使它們個個都是合數．
10. 具備什麼條件的最簡正分數可化為有限小數？
11. 求適合下列三個條件的最小整數：
①大於1 ②沒有小於10的質因數 ③不是質數
12. 某質數加上6或減去6都仍是質數，且這三個質數均在30到50之間，那麼這個質數是＿＿＿．
13. 乙個質數加上10或減去14都仍是質數，這個質數是＿＿．
初中數學競賽輔導初一上
初中數學競賽輔導資料 3 質數合數 甲內容提要 1 正整數的一種分類 質數的定義 如果乙個大於1的正整數，只能被1和它本身整除，那麼這個正整數叫做質數 質數也稱素數 合數的定義 乙個正整數除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數。2 根椐質數定義可知 1 質數只有1和本身...
初一數學競賽輔導
有理數的運算與代數式 一 基本概念 一 有理數的運算 1 有理數的的概念，數軸 相反數 絕對值 倒數 2 有理數的運算定律 法則和巧算方法 3 近似數和有效數字。二 代數式 1 代數式的定義 列代數式及注意事項 2 代數式的值及其求法 3 化簡代數式的方法和思想 整體思想 換元思想 4 找規律 二 ...
初一上短語
2012人教版初一 上 u1what s this in english?用英語說這是什麼？telephone number 號碼first名，西方人名的第乙個字 last姓 family name 姓氏given命名 id card身份證 u2i see我明白。h e a good day.祝一天...