初中數學競賽輔導資料
第一講數的整除
一、內容提要：
如果整數a除以整數b(b≠0)所得的商a/b是整數,那麼叫做a被b整除. 0能被所有非零的整數整除.
一些數的整除特徵
能被7整除的數的特徵：
①抹去個位數 ②減去原個位數的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的數的特徵：
①抹去個位數 ②減去原個位數 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
二、例題
例1已知兩個三位數328和的和仍是三位數且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整數，∵能被9整除，∴y=6.
∵328＋＝567，∴x=3
例2已知五位數能被12整除，求
解：∵五位數能被12整除，必然同時能被3和4整除，
當1＋2＋3＋4＋能被3整除時，x=2，5，8
當末兩位能被4整除時，＝0，4，8
∴＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數
解：五位數字都不相同的最小五位數是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只調整末位數仍不行
調整末兩位數為30，41，52，63，均可，
∴五位數字都不相同的最小五位數是10263。
練習一1、分解質因數：（寫成質因數為底的冪的連乘積）
①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2、若四位數能被3整除，那麼 a
3、若五位數能被11整除，那麼
4、當m時，能被25整除
5、當n時，能被7整除
6、能被11整除的最小五位數是________,最大五位數是_________
7、能被4整除的最大四位數是能被8整除的最大四位數是
8、8個數：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各數整除的有（填上編號）：
6________,8911
9、從1到100這100個自然數中，能同時被2和3整除的共_____個，能被3整除但不是5的倍數的共______個。
10、由1，2，3，4，5這五個自然數，任意調換位置而組成的五位數中，不能被3整除的數共有幾個？為什麼？
11、已知五位數能被15整除，試求a的值。
12、求能被9整除且各位數字都不相同的最小五位數。
13、在十進位制中，各位數碼是0或1，並能被225整除的最小正整數是______（2023年全國初中聯賽題）
第二講倍數約數
一、內容提要
1、兩個整數a和b（b≠0），如果b能整除a（記作b｜a），那麼a叫做b的倍數，b叫做a的約數。例如3｜15，15是3的倍數，3是15的約數。
2、因為0除以非0的任何數都得0，所以0被非0整數整除。0是任何非0整數的倍數，非0整數都是0的約數。如0是7的倍數，7是0的約數。
3、整數a（a≠0）的倍數有無數多個，並且以互為相反數成對出現，0，±a，±2a，……都是a的倍數，例如5的倍數有±5，±10，……。
4、整數a（a≠0）的約數是有限個的，並且也是以互為相反數成對出現的，其中必包括±1和±a。例如6的約數是±1，±2，±3，±6。
5、通常我們在正整數集合裡研究公倍數和公約數，幾正整數有最小的公倍數和最犬的公約數。
6、公約數只有1的兩個正整數叫做互質數（例如15與28互質）。
7、在有餘數的除法中，被除數＝除數×商數＋餘數。若用字母表示可記作：a＝bq＋r，當a，b，q，r都是整數且b≠0時，a－r能被b整除。
例如23＝3×7＋2，則23－2能被3整除。
二、例題
例1寫出下列各正整數的正約數，並統計其個數，從中總結出規律加以
應用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。
解：列表如下
其規律是：設a＝ambn (a，b是質數,m，n是正整數)，那麼合數a的正約數的個數是（m+1）(n+1)
例如求360的正約數的個數
解：分解質因數：360＝23×32×5，
360的正約數的個數是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（個）
例2用分解質因數的方法求24，90最大公約數和最小公倍數
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公約數是2×3， 記作（24，90）＝6
最小公倍數是23×32×5＝360， 記作[24,90]=360
例3已知32，44除以正整數n有相同的餘數2，求n
解：∵32－2，44－2都能被n整除，∴n是30，42的公約數
∵（30，42）＝6，而6的正約數有1，2，3，6
經檢驗1和2不合題意，∴n＝6，3
例4乙個數被10餘9，被9除餘8，被8除餘7，求適合條件的最小正整數
分析：依題意如果所求的數加上1，則能同時被10，9，8整除,所以所求的數是10，9，8的最小公倍數減去1。
解： ∵[10,9,8]=360,
∴所以所求的數是359
練習二1、12的正約數有16的所有約數是
2、分解質因數300300的正約數的個數是_________
3、用分解質因數的方法求20和250的最大公約數與最小公倍數。
4、乙個三位數能被7，9，11整除，這個三位數是_________
5、能同時被3，5，11整除的最小四位數是_______，最大三位數是________
6、已知14和23各除以正整數a有相同的餘數2，則a＝________
7、寫出能被2整除，且有約數5，又是3的倍數的所有兩位數。
8、乙個長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈，要用同一規格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數寸作為邊長，有哪幾種規格的正方形瓷磚適合？
9、一條長階梯，如果每步跨2階，那麼最後剩1階；如果每步跨3階，那麼最後剩2階；如果每步跨4階，那麼最後剩3階；如果每步跨5階，那麼最後剩4階；如果每步跨6階，那麼最後剩5階；只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？
第三講質數合數
一、內容提要
1、正整數的一種分類：
質數的定義：如果乙個大於1的正整數，只能被1和它本身整除，那麼這個正整數叫做質數（質數也稱素數）。
合數的定義：乙個正整數除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數。
2、 根椐質數定義可知
1 質數只有1和本身兩個正約數。
2 質數中只有乙個偶數2。
如果兩個質數的和或差是奇數，那麼其中必有乙個是2；
如果兩個質數的積是偶數，那麼其中也必有乙個是2。
3、任何合數都可以分解為幾個質數的積。能寫成幾個質數的積的正整數就是合數。
二、例題
例1兩個質數的和等於奇數a (a≥5)，求這兩個數。
解：∵兩個質數的和等於奇數
∴必有乙個是2
所求的兩個質數是2和a－2。
例2已知兩個整數的積等於質數m, 求這兩個數。
解：∵質數m只含兩個正約數1和m,
又∵（－1）（－m）=m
∴所求的兩個整數是1和m或者－1和－m.
例3已知三個質數a,b,c它們的積等於30，求適合條件的a,b,c的值。
解：分解質因數：30＝2×3×5
適合條件的值共有：，，，，，
應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質數a,b,c,d它們的積等於210,即abcd=2×3×5×7，那麼適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。
例4試寫出4個連續正整數，使它們個個都是合數。
解：（本題答案不是唯一的）
設n是不大於5的所有質數的積，即n＝2×3×5
那麼n＋2，n＋3，n＋4，n＋5就是適合條件的四個合數
即32，33，34，35就是所求的一組數。
本題可推廣到n 個。令n等於不大於n+1的所有質數的積，那麼n＋2，
n＋3，n＋4，……n＋（n+1）就是所求的合數。
練習三1、小於100的質數共___個，它們是
2、已知質數p與奇數q的和是11，則p＝_______，q＝_______
3、已知兩個素數的差是41，那麼它們分別是
4、如果兩個自然數的積等於19，那麼這兩個數是
如果兩個整數的積等於73，那麼它們是
如果兩個質數的積等於15，則它們是
5、兩個質數x和y，已知xy=91,那麼x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.
6、三個質數a,b,c它們的積等於1990，那麼
7、能整除311＋513的最小質數是_______
8、已知兩個質數a和b適合等式a＋b＝99，ab＝m，求m及＋的值。
初中數學競賽輔導初一上
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初一上數學競賽輔導
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