應用題（一）
一、 一、知識要點
1、 1、 應用題是中學數學的重要內容之一，它著重培養學生理解問題、分析問題和解決問題的能力，解應用題最主要的方法是列方程或方程組。
2、 2、 列方程(組)解應用題的一般步驟是：
(1) (1) 弄清題意和題目中的數量關係，用字母表示題目中的乙個未知數；
(2) (2) 找出能夠表示應用題全部含義的乙個相等關係；
(3) (3) 根據這個相等關係列出方程；
(4) (4) 解這個方程，求出未知數的值；
(5) (5) 寫出答案(包括單位名稱)。
3、行程類問題
行程類問題討論速度、時間和路程之間的相互關係。它們滿足如下基本關係式： 速度時間=路程
4、數字類問題
數字類問題常用十進位制來表示數，然後通過相等關係列出方程。
解數字類問題應注意數字間固有的關係，如：連續整數，一般設中間數為x，則相鄰兩數分別為x-1、x+1；連續奇(偶)數，一般設中間數為x，則相鄰兩數分別為x-2、x+2。
二、 二、例題精講
例1 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千公尺，下坡時每小時行駛35千公尺，。車從甲地開往乙地需9小時，乙地開往甲地需小時，問：
甲、乙兩地間的公路有多少千公尺？從甲地到乙地須行駛多少千公尺的上坡路？(第五屆華盃賽複賽題)
分析本題用方程來解簡單自然。
解設從甲地到乙地的上坡路為x千公尺，下坡路為y千公尺，根據題意得方程組
解這個方程組有很多種方法。例如代入消元法、加減消元法等。由於方程組係數比較特殊(第乙個方程中x的係數恰好是第二個方程中y的係數，而y的係數也恰好是第二個方程中x的係數)，也可以採用如下的解法：
(1)+(2)得
x+y)( +)=9+
所以 x+y3)
(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-
所以x-y4)
由(3)、(4)得 x=
所以甲、乙兩地間的公路長210千公尺，從甲地到乙地須行駛140千公尺的上坡路。
例2 公共汽車每隔x分鐘發車一次，小巨集在大街上行走，發現從背後每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面開來一輛公共汽車。如果公共汽車與小巨集行進的速度都是均勻的，則x等於分鐘。(第六屆迎春杯初賽試題)
分析：此題包括了行程問題中的相遇與追及兩種情況。若設汽車速度為a公尺/每秒，小巨集速度為b公尺/每秒，則當一輛汽車追上小巨集時，另一輛汽車在小巨集後面ax公尺處，它用6分鐘追上小巨集。
另一方面，當一輛汽車與小巨集相遇時，另一輛汽車在小巨集前面ax公尺處，它經過分鐘與小巨集相遇。由此可列出兩個方程。
解：設汽車速度為a公尺/每秒，小巨集速度為b公尺/每秒，根據題意得
兩式相減得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5
評注：行程問題常分為同向運動和相向運動兩種，相遇問題就是相向運動，而追及問題就是同向運動。解這類問題分析時往往要結合題意畫出示意圖，以便幫助我們直觀、形象地理解題意。
例3 攝製組從a市到b市有一天的路程，計畫上午比下午多走100千公尺到c市吃午飯。由於堵車，中午才趕到乙個小鎮，只行駛了原計畫的三分之一，過了小鎮，汽車趕了400千公尺，傍晚才停下來休息。司機說，再走從c市到這裡路程的二分之一就到達目的地了。
問a、b兩市相距多少千公尺？(第五屆華盃賽決賽試題)
分析：本題條件中只有路程，沒有時間和速度，因而應當仔細分析各段路程之間的關係。
解：如圖，設小鎮為d，傍晚
汽車在e 休息a dce b
由已知， ad是ac的三分之一，也就是ad =dc 又由已知，eb=ce
兩式相加得：ad+ eb=de
因為de=400千公尺，所以ad+ eb=400=200千公尺，
從而a、b兩市相距400+200=600千公尺
評注：行程問題常通過畫行程示意圖來幫助我們思考。
例4 有編號為①、②、③的3條賽艇，其在靜水中的速度依次為每小時v1、v2、v3千公尺，且滿足v1> v2> v3> v >0，其中v為河流的水流速度。它們在河流上進行追逐賽，規則如下：
(1) 3條賽艇在同一起跑線上同時出發，逆流而上，在出發的同時，有一浮標順流而下；
(2) 經過1小時，①、②、③號賽艇同時掉頭，追趕浮標，誰先追上誰為冠軍。
在整個比賽期間各艇的速度保持不變，則比賽的冠軍為
解：經過1小時，①、②、③號賽艇同時掉頭，掉頭時，各艇與浮標的距離為：
s i=(vi-v)1+v1= vi 1(i=1、2、3)
第i號賽艇追上浮標的時間為：(小時)
由此可見，掉頭後各走1小時，同時追上浮標，所以3條賽艇並列冠軍。
評注：順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度-水流速度。
例5在一環行軌道上有三枚彈子同時沿逆時針方向運動。已知甲於第10秒鐘時追上乙，在第30秒時追上丙，第60秒時甲再次追上乙，並且在第70秒時再次追上丙，問乙追上丙用了多少時間？(第11屆希望盃競賽培訓題)
解：設甲的運動速度是乙的運動速度是，丙的運動速度是．設環形軌道長為l。甲比乙多運動一圈用時50秒，故有－＝ ①
甲比丙多運動一圈用時40秒，故有
②－①可得到
甲、乙、丙初始位置時，乙、丙之間的距離＝甲、丙之間距離－甲、乙之間距離
＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用時間＝
＝秒．所以第110秒時，乙追上丙．
評注：相遇問題的關係式是：路程和=速度和時間；
追及問題的關係式是：追及路程=速度差時間。
例6 乙個三位數，三個數字上的數字和為17，百位上的數比十位上的數大7，個位上的數是十位上數的3倍，求這個三位數。
解：設十位上的數為x，則個位上的數為3 x，百位上的數是x+7
由題意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2
∴這個三位數是：100(x+7)+10 x+3 x=926
答：這個三位數是926
評注：數字問題常設出數字上的數字，再用十進位制把數表示出來。
例7 兩個三位整數，它們的和加1得1000，如果把大數放在小數的左邊，並在這兩數之間點上乙個小數點，則所成的數正好等於把小數放在大數的左邊，中間點乙個小數點所成的數的6倍，求這兩個數。
解：設大數為x，則小數為999-x，由題意得
解這個方程得：x=857, ∴999-x=142
答：大數為857，小數為142。
例8 一輛卡車在公路上勻速行駛，起初看到里程碑上的數字為，過了1小時里程碑上的數字為，又行駛了1小時里程碑上的數字為，求每次看到的數字和卡車的速度。
分析：相等關係是前一小時走的路程=後一小時走的路程。
解：依題意得：-=-，即+=2，
所以 (10a+b)+(100a+b)=2(10b+a)，整理得6a=b
因為a、b取1到9的自然數，所以只有a=1，b=6
故3次看到的數字分別是16，61，106，卡車的速度為45千公尺/時。
評注：本題得到的是乙個不定方程，通過a、b是1到9的自然數來求出a、b。
例9 在黑板上從1開始，寫出一組連續的自然數，然後擦去了乙個數，其餘的平均值為，試問擦去的數是什麼數？
分析：設出擦去的數，用平均值為來估計出寫出的自然數，從而求出擦去的數。
解：設寫出了n個自然數1，2，…，n中擦去的是k，則由題意得：
即因為n是自然數，且n-1必須是17的倍數，所以n=69
於是由，可解得k=7，即擦去的數為7。
評注：本題運用了放縮原理來得出n的範圍，從而確定自然數n的值，放縮法是數學競賽中常用的方法。
三、 三、鞏固練習
選擇題1、甲、乙二人從m地同時出發去n地，甲用一半的時間以每小時a千公尺的速度行走，另一半的時間以每小時b千公尺的速度行走；乙以每小時a千公尺的速度行走一半的路程，另一半路程以每小時b千公尺的速度行走。若a≠b，則( )先到達n地。
a、甲 b、乙 c、二人同時到達 d、不確定
2、已知遊艇在靜水中的航速為每小時10千公尺，某一旅遊團乘該遊艇在黃河順水航行2小時，又用3小時返回出發地，求該團所走的航程是( )
a、24千公尺 b、12千公尺 c、48千公尺 d、40千公尺
3、某人從a地步行到b地，當走到預定時間時，離b地還有0.5千公尺；若把步行速度提高25%，則可比預定時間早半小時到達b地。已知ab兩地相距12.
5千公尺，則某人原來步行的速度是( )
a、2千公尺/時 b、4千公尺/時 c、5千公尺/時 d、6千公尺/時
4、乙個兩位數，十位上的數與個位上的數的和是7，若十位上的數與個位上的數對換，現在的兩位數與原來的兩位數的差是9，則現在的兩位數是( )
a、43 b、34 c、25 d、52
5、在由兩個不同數字組成的所有兩位數中，每個兩位數被其兩個數字之和除時，所得的商的最小值是( )
a、1.5 b、1.9 c、3.25 d、4.375
6、乙個插入乙個一位數(包括0)，就變成乙個三位數，如：72中間插入6後變成了762。有些兩位數中間插入某個一位數後變成的三位數，是原來兩位數的9倍，這樣的兩位數有第六屆《祖沖之杯》數學邀請賽試題)
a、1個 b、4個 c、10個 d、超過10個
填空題7、早晨8點多鐘，有兩輛汽車先後離開化肥廠，向幸福村開去。兩輛汽車的速度都是每小時60千公尺，8點32分時，第一輛車離開化肥廠的距離是第二輛車的3倍。到了8點39分時，第一輛車離開化肥廠的距離是第二輛車的2倍。
則第一輛車是8點分離開化肥廠的.
8、甲、乙兩個同學從a地到b地，甲步行的速度為每小時3千公尺，乙步行的速度為每小時5千公尺，兩人騎自行車的速度都是每小時15千公尺。現在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時出發。走了一段路程後，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以後不斷交替行進，兩人恰好同時到達b地。
甲走全程的平均速度是千公尺/小時。(第六屆迎春杯初賽試題)
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