初一數學系列競賽講座(四)
有理數的有關知識
一、 知識要點
1、絕對值
x的絕對值的意義如下：＝
是乙個非負數，當且僅當x＝0時，＝0
絕對值的幾何意義是：乙個數的絕對值表示這個數對應的數軸上的點到原點的距離；由此可得：表示數軸上a點到b點的距離．
2、倒數
1除以乙個數(零除外)的商，叫做這個數的倒數．如果兩個數互為倒數，那麼這兩個數的積等於1．
3、相反數
絕對值相同而符號相反的兩個數互為相反數．兩個互為相反數的數的和等於0．
二、 例題精講
例1 化簡
分析：由2x+1＝0、x-3＝0、x-6＝0求出零點，然後用零點分段法將絕對值去掉，從而達到化簡的目的．
解：由2x+1＝0、x-3＝0、x-6＝0 分別求得：x＝ -， x＝3， x＝6
當時，原式＝ -(2x+1)+(x-3) - (x-6)＝ -2x+2
當時，原式＝ (2x+1)+(x-3) - (x-6)＝ 2x+4
當時，原式＝ (2x+1)-(x-3) - (x-6)＝ 10
當x≥6時，原式＝ (2x+1)-(x-3) + (x-6)＝ 2x-2
∴原式＝
評注：用零點分段法，通過零點分段將絕對值去掉，從而化簡式子，解決問題是解決含絕對值問題的基本方法．
例2 已知的最大值和最小值．(第六屆迎春杯決賽試題)
分析：先解不等式，求出x的範圍，然後利用絕對值的幾何意義來求最大值和最小值．
解：解不等式得：
的幾何意義是x到1的距離與x到-3的距離的差，從上圖中可以看出：當x≤-3時這差取得最大值4，因，則當時這差取得最小值.
評注：1、本題是採用數形結合的思想，用絕對值的幾何意義來解題．
2、本題求得x的範圍後，也可用零點分段法將化簡，然後求出最大值和最小值．
＝由上式可以看出：當x≤-3時取得最大值4，當時取得最小值
例3 解方程
(第六屆華盃賽決賽初一試題)
分析：兩個非負數的和是0，這兩個非負數必須都是0．
解：由原方程得
由(1)得：
從而 x＝x-3.1415926或x＝3.1415926-x，所以x＝1.5707963
由(2)得：
從而所以 y＝或 y＝
於是，原方程的解是
評注：兩個非負數的和是0，這兩個非負數必須都是0是解題中常用的乙個結論．本題中，求中的x值也可以用絕對值的幾何意義來解，表示x到原點與到3.1415926的距離相等，因而x是原點與點3.
1415926鏈結線段的中點，即x＝1.5707963
例4 有理數均不為0，且設試求代數式2000之值．(第11屆希望盃培訓題)
分析：要求代數式2000的值，必須求出x的值．根據 x的特徵和已知條件，分析a與b+c,b與a+c，c與a+b的關係，從而求出x的值．
解：由均不為0，知均不為0．
∵ ∴
即 又中不能全同號，故必一正二負或一負二正．
所以中必有兩個同號，即其值為兩個＋1，乙個－1或兩個－1，乙個＋1．
∴ ∴
因此，例5已知a、b、c為實數，且
求的值．(第8屆希望盃試題)
分析：直接對已知條件式進行處理有點困難，根據已知條件式的結構特徵，可以將它們兩邊取倒數．
解：由已知條件可知a≠0，b≠0，c≠0，對已知三式取倒數得：
三式相加除以2得：
因為，所以＝
例6 求方程的實數解的個數．(2023年祖沖之杯數學邀請賽試題)
分析：1可以化成：，於是
由絕對值的性質：若ab≤0，則可得(x-2) (x-3)≤0
從而求得x
解：原方程可化為：
則 (x-2) (x-3)≤0，所以，所以2≤x≤3
因此原方程有無數多個解．
評注：本題很巧妙地將「1」代換成，然後可利用絕對值的性質來解題．在解數學競賽題時，常常要用到「1」的代換．
例7 求關於x的方程的所有解的和．
解：由原方程得，∴
∵0 從而，x1＝3+a， x2＝3-a， x3＝1+a， x4＝1-a
∴x1+x2+x3+x4＝8，即原方程所有解的和為8
例8 已知：．
分析：直接求值有困難，但我們發現將已知式和待求式倒過來能產生，通過將整體處理來求值．
解：∵即而∴評注：本題通過將整體處理來解決問題，整體處理思想是一種常用的數學思想．
例9 解方程組 (2023年江蘇省蘇州市初中數學競賽試題)
解：觀察得，x＝y＝z＝0為方程組的一組解．當xyz≠0時，將原方程組各方程兩邊取倒數得：
(1)+(2)+(3)得：
∴∴ ∴x＝y＝z＝1
故原方程組的解為：
評注：本題在對方程組中的方程兩邊取倒數時，不能忘了x＝y＝z＝0這組解．否則就會產生漏解．
三、 鞏固練習
一、選擇題
1、若( )
a、1 b、-1 c、1或-1 d、以上都不對
2、方程的解的個數是( ) (第四屆祖沖之杯數學邀請賽試題)
a、0 b、1 c、2 d、3 e、多於3個
3、下面有4個命題：
①存在並且只存在乙個正整數和它的相反數相同．
②存在並且只存在乙個有理數和它的相反數相同．
③存在並且只存在乙個正整數和它的倒數相同．
④存在並且只存在乙個有理數和它的倒數相同．
其中正確的命題是：（ ）
（a）①和b）②和③
（c）③和d）④和①
4、兩個質數的和是49，則這兩個質數的倒數和是( )
a、 b、 c、 d、
5、設y＝ax15+bx13+cx11-5(a、b、c為常數)，已知當x＝7時，y＝7，則x＝ -7時，y的值等於( )
a、-7 b、-17 c、17 d、不確定
6、若a、c、d是整數，b是正整數，且滿足a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，則a+b+c+d的最大值是( )
a、-1 b、0 c、1 d、-5
二、填空題
7、設a<0，且x
8、a、b是數軸上兩個點，且滿足a≤b．點x到a的距離是x到b的距離的2倍，則x＝____．
9、 若互為相反數，則 ．
10、計算
11、若a是有理數，則的最小值是 ．
12、有理數在數軸上的位置如圖所示，化簡
三、解答題
13、化簡：
14、已知
15、若abc≠0，求的所有可能的值．
16、x是有理數，求的最小值．
17、已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，x的絕對值為1，求a+b+x 2-cdx的值．
18、求滿足的所有整數對(a，b) ．
19、若的值恒為常數，求x的取值範圍及此常數的值．
20、已知方程有乙個負根而沒有正根，求a的取值範圍．
初一數學競賽系列講座 9
應用題 一 一 一 知識要點 1 1 應用題是中學數學的重要內容之一，它著重培養學生理解問題 分析問題和解決問題的能力，解應用題最主要的方法是列方程或方程組。2 2 列方程 組 解應用題的一般步驟是 1 1 弄清題意和題目中的數量關係，用字母表示題目中的乙個未知數 2 2 找出能夠表示應用題全部含義...
初一數學有理數總結
5 非負分數6 非正分數 小數與分數 有限小數 都可寫成分數的形式，是有理數 無限迴圈小數 無限小數 無限不迴圈小數不可寫成分數形式，不是有理數 是無限不迴圈小數，不是有理數，但它是正數。4 數軸 規定了原點 正方向 和單位長度的直線。注意 數軸是一條向兩端無限延伸的直線 原點 正方向 單位長度是數...
初一數學有理數總結
第一章有理數 1.1正數和負數 以前學過的0以外的數前面加上負號 的書叫做負數。以前學過的0以外的數叫做正數。數0既不是正數也不是負數，0是正數與負數的分界。在同乙個問題中，分別用正數和負數表示的量具有相反的意義 1.2有理數 1.2.1有理數 正整數 0 負整數統稱整數，正分數和負分數統稱分數。整...