正數和負數數軸絕對值
一、知識概述
（一）正數和負數
1、負數的意義
負數是由實際的需要而產生的，如：某地氣溫是8℃，由於強冷空氣南下，氣溫下降了12℃，則該地區這時的實際氣溫是(8－12)℃，但在算術中這個差是不存在的，實際上這個氣溫是客觀存在的，為了解決這個「不夠減」的矛盾，引入乙個新數——負數，即(8－12)℃=－4℃，表示零下4℃．
2、相反意義的量與正數
為了表示具有相反意義的量，把其中一種意義的量規定為正，另一種與它意義相反的量規定為負，正的量記為「＋」，如＋6，＋2.5，…叫正數；負的量記做「－」，像－4，－6這類帶有負號的數叫負數；「0」既不是正數，也不是負數，是正數與負數的界限，規定零是最小的自然數.
自然界有許多具有相反意義的量，如上公升與下降，向東與向西、盈餘與虧損等都可以用正負數來表示．
3、有理數的分類
（1）有理數
（2）有理數
4、字母a的意義
用字母a表示有理數時：
（1）a>0時，a表示正數，－a表示負數；
（2）a<0時，a表示負數，－a表示正數.
（3）a≥0時，a表示非負數.
（二）相反數
1、相反數的意義
（1）代數意義：只有符號不同的兩個數叫互為相反數，其中乙個數叫另乙個數的相反數，0的相反數是0.
（2）幾何意義：在數軸上的原點兩旁，離原點的距離相等的兩個點所表示的數互為相反數.
（3）相反數的性質：若a、b兩數互為相反數，則a＋b＝0，反之也成立.
（4）符號：在乙個數前面加「－」號表示這個數的相反數，如數a的相反數是－a.
2、多重符號的化簡
化簡帶有多重符號的數的關鍵是結合數軸理解相反數，按由內到外的順序去括號，如：－[－(－3)]=－(＋3)=－3.
（三）數軸
1、數軸的意義
數軸是一種特定幾何圖形；原點、正方向、單位長度稱數軸的三要素，這三者缺一不可．
2、數軸的畫法
畫一條水平的直線，在這條直線上任取一點作為原點，用這個點表示0，規定這條直線上從原點向右的方向（以箭頭表示）為正方向，相反的方向（即從原點向左的方向）為負方向，選取某一長度作為單位長度，就得到了如圖所示的數軸（number axis）.
（四）絕對值
1、絕對值的意義：乙個數a的絕對值，就是數軸上表示數a的點與原點的距離，記作|a|.
（1）絕對值的代數意義是乙個正數的絕對值是正數，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.
（2）絕對值的幾何意義：乙個數的絕對值表示的是這個數離開原點的距離，記做|a|，離原點越遠，數的絕對值越大.
（3）絕對值是非負數，即|a|≥0.互為相反數的兩數絕對值相等：|a|=|－a|.
2、絕對值的求法：在處理絕對值符號時，應首先確定絕對值裡面的數的正、負性，若是非負數，則直接去掉絕對值符號；若是負數，則去掉絕對值符號後，前面加負號，即
（1） 或 （2）
有理數的大小比較有理數的加法
一、知識概述
在學習數軸、相反數、絕對值的基礎上進一步鞏固這些重要概念；利用數軸進行兩個或兩個以上的有理數的大小比較．
從實際問題**兩個有理數的加法得到有理數的加法法則並會熟練運用．
二、重點知識歸納及講解
1、利用數軸比較有理數的大小
數軸是我們進初中以後學到的乙個重要概念，我們知道有理數均可以用數軸上的點來表示，結合數軸，還可以更深刻地理解相反數的意義：從數軸上看，在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的兩個數是互為相反數，其中包含著0的相反數是0的道理．乙個數的絕對值的意義，更離不開「數軸」這個工具，我們知道在數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值，因為距離是正數或0，所以有理數的絕對值是非負數，即|a|≥0，利用數軸可以表示相反數和絕對值的幾何意義．
我們知道，在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大，因此，有理數大小比較的法則是：
①正數都大於零, 負數都小於零, 正數大於一切負數;
②兩個正數,絕對值大的數大;
③兩個負數,絕對值大的數反而小.
2、有理數的加法法則
（1）同號兩數相加，取相同符號，並把絕對值相加；
（2）異號兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值.
（3）乙個數與0相加，仍得這個數．
3、有理數加法步驟分兩步：
第一步，確定和的符號；
第二步，求和的絕對值.
4、利用加法交換律和結合律可以簡化計算，通常有以下幾種結合的方法：
（1）同號的數放在一起相加；
（2）互為相反數的兩個數放在一起；
（3）同分母的分數放在一起；
（4）和為整數的數在一起相加．
5、加法的交換律：a＋b=b＋a
加法的結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)
有理數的減法及加減混合運算
一、知識概述
1、有理數的減法
（1）有理數的減法法則
減去乙個數，等於加上這個數的相反數.這個法則用式子可以表示為a－b=a＋(－b).
（2）有理數的減法運算
有理數的減法，不像算術裡那樣直接相減，而是把它轉化為加法，借助於加法進行計算.因此，掌握有理數減法的關鍵是正確地將減法轉變為加法.再按有理數的加法法則計算.
注意兩個「變」：①改變運算符號；②改變減數的性質符號（變為相反數），牢記乙個「不變」，被減數與減數的位置不能交換，也就是說，減法沒有交換律．
2、有理數的加減混合運算
（1）代數和：幾個正數或負數的和稱代數和，是在代數和裡把加號及加號前的括號省去不寫的簡寫形式，簡寫後的代數和的符號都是性質符號，而運算符號「＋」均已省略.如－5－2＋3－5實際表示－5，－2，＋3，－5的和.
（2）有理數加減混合運算的步驟：首先變減為加，再寫成省略加號的形式，然後利用加法交換律和結合律簡化計算.
（3）使用加法交換律交換數的位置時，要連同數前面的符號一起交換．
（4）利用交換律的結合律進行簡化計算時應遵循幾條法則：
①正數和負數分別結合相加；
②分母相同或易於通分的分數結合相加；
③和為整數的結合相加；
④互為相反數的結合相加.
二、重難點知識
1、重點：
（1）能用有理數的減法法則進行減法運算；
（2）能正確將加減混合運算統一成加法運算.
做加減混合運算時要注意：
①先統一成加法； ②省略括號；③分類相加．
2、難點：在加減混合運算中能正確地運用運算律進行簡便運算.
有理數的乘法和除法
一、知識概述
（一）有理數乘法的法則及運算律
1、有理數的乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘；任何數同零相乘，都得零.
幾個有理數相乘的符號確定：
幾個不等於零的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正.幾個數相乘，有一因數為零，積就為零.
2、乘法運算律
（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變.即ab=ba.
（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積不變.即(ab)c=a(bc).
（3）乘法對加法的分配律：乙個數與兩個數的和相乘，等於把這個數分別與兩個數相乘，再把積相加.即a(b＋c)=ab＋ac.
（二）有理數的除法法則
1、有理數的除法法則
法則1：兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除，0除以任何乙個不等於0的數都得0；
法則2：除以乙個數等於乘以這個數的倒數，0不能作除數．
2、倒數的意義
乘積是1的兩個數互為倒數，其中乙個數是另乙個數的倒數，0沒有倒數.
倒數的求法：
（1）求乙個整數的倒數，直接可寫成這個數分之一，即a的倒數為.
（2）求乙個分數的倒數，只要將分子、分母顛倒一下即可，即的倒數為.
（3）求乙個帶分數的倒數，應先將帶分數化成假分數，再求倒數.
（4）求乙個小數的倒數，應先將小數化成分數，再求倒數.
二、重點知識歸納及講解
1、有理數乘法法則是重點，要準確而熟練地運用.
乘法運算時，先確定積的符號，特別是確定幾個因式乘積的符號，然後再把各因式的絕對值相乘.帶分數參與乘法運算時，要把帶分數化成假分數.乘法的交換律、結合律、分配律在有理數的運算中應用非常廣泛，對簡便運算起很大作用要靈活運用.
2、有理數的除法，給出了兩種形式的法則，用不同的法則計算，所得的商是相同的，但一般情況下，如果不能整除的，則選用「轉化」的法則，即把除法轉化為乘法來計算，能整除的就直接用除法法則計算較簡便，熟練運用除法法則計算也是重點.
3、正確理解倒數的意義.
（1）乘積為1的兩個數互為倒數；
（2）如果兩個數互為倒數，那麼它們符號相同，即正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，0沒有倒數.
（3）倒數等於本身的數是±1.
有理數的乘方有理數的混合運算
一、知識概述
1、有理數的乘方
一般地，n個相同的因數a相乘，，
即．這種求n個相同因數的積的運算叫做乘方（power）．乘方的結果叫做冪（power）．在中，a 叫做底數(base number)，n叫做指數(exponent)，an讀作a的n次冪(或a的n次方)．
指數為1時可以省略不寫．
2、乘方的性質
（1）正數的任何次冪都是正數．即當a>0時，>0（n為正整數）；
（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；
即當a<0時，
（3）0的任何非零次冪都是0；
即當a=0時，=0（n為正整數）；
（4）1的任何次冪為1，－1的偶次冪為1，－1的奇次冪為－1.
（5）任何數a的偶次冪為非負數.即≥0，（n為正整數，a為有理數）.
（6）=（n為正整數）；=（n為正整數）.
3、有理數混合運算順序
先算乘方，再算乘除，最後算加減．
如果有括號，先算括號裡面的．
二、重點、難點和疑點
1．重點：有理數的乘方運算
2．難點：有理數乘方運算的符號法則
3．疑點：
①乘方和冪的區別．
②與的區別．
表示－a的n次方，表示a的n次方的相反數．
有理數小結
一、 本章知識結構
初一數學有理數總結
5 非負分數6 非正分數 小數與分數 有限小數 都可寫成分數的形式，是有理數 無限迴圈小數 無限小數 無限不迴圈小數不可寫成分數形式，不是有理數 是無限不迴圈小數，不是有理數，但它是正數。4 數軸 規定了原點 正方向 和單位長度的直線。注意 數軸是一條向兩端無限延伸的直線 原點 正方向 單位長度是數...
初一數學有理數總結
第一章有理數 1.1正數和負數 以前學過的0以外的數前面加上負號 的書叫做負數。以前學過的0以外的數叫做正數。數0既不是正數也不是負數，0是正數與負數的分界。在同乙個問題中，分別用正數和負數表示的量具有相反的意義 1.2有理數 1.2.1有理數 正整數 0 負整數統稱整數，正分數和負分數統稱分數。整...
初一數學有理數教案整章
第2章有理數 一 教學目標 1.使學生體會具有相反意義的量，並能用有理數表示。2.能在數軸上表示有理數，並借助數軸理解相反數和絕對值的意義。3.會求有理數的相反數和絕對值 絕對值符號內不含字母 4.會比較有理數的大小。5.了解乘方的意義，掌握有理數的加 減 乘 除法和乘方的運算法則，能進行有理數的加...