第一章有理數（一）
【學習目標】
1．理解正負數的意義，掌握有理數的概念.
2．理解並會用有理數的加、減、乘、除和乘方五種運算法則進行有理數的混合運算.
3．學會借助數軸來理解絕對值、有理數比較大小等相關知識.
4．理解科學記數法，有效數字及近似數的相關概念並能靈活應用；
【知識點一】正數與負數
（1）正數：像+1.8，+10%等帶有「+」號的數叫做正數。為了強調正數，前面加上「+」號，也可以省略不寫。
（2）負數：像－3、－15%等帶有「－」號的數叫做負數。而負數前面的「－」號不能省略。
（3）零：既不是正數也不是負數，它是正數與負數的分界點。正數 0 ， 負數 0
（4）非負數：正數與零的統稱。（表示為：x≥0）；非正數
（5）幾個特殊的數：最小的自然數是 ;絕對值最小的數是 ；
最小的正整數是 ；最大的負整數是 。
（6）注意：對於正數與負數，不能簡單地理解為：帶「+」號的數是正數，帶「－」號的數是負數。例如－a不一定是負數（譬如a=0或者-1時）。
（7）意義：我們經常用正數與負數表示相反意義的量，習慣上把增加、盈利等規定為正，它們相反意義的量規定為負。（注意選好同乙個參考標準）
【典例精析】
1、下列說法正確的是：（ ）
a．正數都帶有「+」號，不帶「+」號的數都是負數。
b.帶「－」號的數不一定是負數.
c．乙個數不是正數就是負數.
d.０℃表示沒有溫度.
2、下列結論中正確的是 （ ）
a．0既是正數，又是負數b．o是最小的正數
c．0是最大的負數d．0既不是正數，也不是負數
3、下列各組量中，表示相反意義的量正確的是( )．
a．凌晨氣溫為－5℃，中午氣溫比凌晨上公升5℃，所以中午氣溫為＋5℃
b．＋3.2 m表示比海平面高＋3.2 m，那麼－9 m表示比海平面低－9 m
c．如果生產成本增加5%記作＋5%，那麼－5%表示生產成本降低5%
d．如果收入增加8元記作＋8元，那麼－5元表示支出減少5元
4、溫度上公升度後，又下降度實際上就是（ ）
a．上公升1度 b．上公升5 度 c．下降1 度 d．下降5度
【知識點二】有理數及其分類
（1）有理數：整數與分數統稱為有理數。
（2）整數包括三類：正整數、零、負整數。分數包括兩類：正分數和負分數。
（3）按整數、分數的關係分類按正數、負數、零的關係分類：
（4）不是有理數
【典例精析】
1、（09肇慶）實數-2,0.3，中，無理數的個數是（ ）
a．2 b．2 c．4 d．5
2、下列說法錯誤的有
1 是負分數；② 1.5不是整數；③ 非負有理數不包括0；④ 正有理數、負有理數
統稱為有理數；⑤整數和分數統稱為有理數 ；⑥0是最小的有理數 ；⑦3.14不是有理數。
3、下列說法中錯誤的是（ ）
a 正整數一定是自然數b 自然數一定是正整數
c 零不是正數，也不是負數 d 任何有理數都可以表示為分數
4、下列各數中：7 ，-9.25 ， ，-301 ， ，-3.5 ，0 ，2， ，-7 ，1.25 ， ，-3 ， 。
正整數正分數
負整數負分數
正數負數
5、有理數中，是整數而不是正數的數統稱為是負數而不是分數的數統稱為
【知識點三】數軸
（1）數軸的概念
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，所有的有理數在數軸上都能找到表示它的點。
①數軸是一條直線，可以向兩段無限延伸。
②數軸的三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可。
③原點的位置、單位長度的大小都可以根據實際情況而確定，一般都取向右的方向為正方向。單位長度一旦確定，不能再改變。
（2）注意：數軸能形象地表示數，所有的有理數都可用數軸上的點表示，但數軸上的點所表示的數並不都是有理數．右邊的數總比左邊的數大，所以正數都大於0，負數都小於0，正數大
（3）要點詮釋：①一切有理數都可以用數軸上的點表示出來，數軸上的點不都表示的是有理數，如. ②在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大.
【典例精析】
1、在數軸上，原點及原點左邊的點所表示的數是（ ）
a．正數 b．負數 c．非負數 d．非正數
2、與原點距離是2．5個單位長度的點所表示的有理數是（ ）
a．2．5 b．-2．5 c．±2．5 d．這個數無法確定
3、在數軸上到表示-2的點相距8個單位長度的點表示的數為
4、大於-3．5小於4．7的整數有_______個．
5、圖中所畫的數軸，正確的是（ ）
6、有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，用「<」將a，b，c三個數連線起來________．
【知識點四】相反數
（1）定義及表示法：只有符號不同的數互為相反數。比如：2和-2（0的相反數仍然是0）。
（2）求相反數方法：①直接在數字前加負號；②如果是式子，先把整個式子括起來，再在括號前加負號；③如果數字或式子不是最簡形式，要先化簡
（3）性質： 若a,b互為相反數，則a+b
(4) 注意：在數軸上表示互為相反數的兩數的點分別位於原點的兩旁，且與原點的距離相等.
（5） 我們通常把在乙個數前面添上「 － 」號，表示這個數的相反數.例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.
5，- 0 = 0；同樣，在乙個數前面添上「+」號，表示這個數本身.
【典例精析】
1、下列各對數中互為相反數的是（ ）
a、－6與－(＋6) b、－（－7）與＋（－7） c、－（＋2）與＋(－2.2) d、－與－(－)
2、（15汕尾）
a.2 b.-2; c.; d.
3、下列語句中不正確的是（ ）
a、負數的相反數大於本身b、正數的相反數小於本身；
c、符號相反的兩個數叫做互為相反數； d、互為相反數的兩個數不一定是乙個是正數，乙個是負數
4、乙個數的倒數的相反數是－3，這個數是 。
5、下列說法正確的是（ ）毛
a．帶「＋」號和帶「－」號的數互為相反數
b．數軸上原點兩側的兩個點表示的數是相反數
c．和乙個點距離相等的兩個點所表示的數一定互為相反數
d．乙個數前面添上「－」號即為原數的相反數
【知識點五】絕對值
（1）絕對值：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作∣a∣,其中a可以是正數、負數和0；
（2）絕對值的非負性：即對任意有理數a，總有|a| 0.
（3）總結：
（4）應用：利用絕對值比較有理數的大小（特別是負數的大小比較）
正數大於0，負數小於0，正數大於一切負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；
（5）幾何定義：乙個數的絕對值，等於在數軸上表示這個數的點到原點的距離。
數軸上表示數a、b的兩點間的距離｜a-b｜
【典例精析】
1、，則。
2、已知，則和的關係為
3、｜x｜ =｜-2007｜，則x=
4、｜-a｜=4，則a
5、如右所示的座標軸，化簡│c-a
6、(12浙江麗水)如圖，數軸的單位長度為1，如果點a，b表示的數的絕對值相等，那麼點a表示的數是( )．
a．－4 b．－2 c．0 d．4
【知識點五】倒數
（1）定義：乘積為1的兩個數互為倒數
（2）求乙個非零數的倒數，可直接寫成這個數分之一，如：2的倒數為
（3）乙個正數的倒數仍為正數，乙個負數的倒數仍為負數，0沒有倒數
（4）乙個分數的倒數，將分子分母調換位置即可，如：的倒數是
（5）乙個帶分數的倒數，先將分數化為假分數，再求倒數。如：
（6）倒數的性質：若a,b互為倒數，則 ab= .
【典例精析】
1、（14汕尾）-2的倒數是（ ）
a．2bcd．-1
2、（12茂名）a的倒數是3，則a的值是（ ）
abcd．-3
課後練習
1、判斷題
(1) 符號相反的兩個數叫做互為相反數
(2)互為相反數的兩個數不一定乙個是正數，乙個是負數
(3)相反數和我們以前學過的倒數是一樣的
(4) 如果兩個數的絕對值相等，那麼這兩個數相等
(5) 如果乙個數是正數，那麼這個數的絕對值是它本身
(6) 如果乙個數的絕對值是它本身，那麼這個數是正數
2、如果與1互為相反數，則等於（ ）
a．2bc．1d．
3、在數軸上的點a、b位置如圖所示，則線段ab的長度為（ ）
a. -3 b. 5 c. 6d. 7
4、某市2023年元旦的最高氣溫為2℃，最低氣溫為－8℃，那麼這天的最高氣溫比最低氣溫高 ( )
有理數練習
練習1 如圖，數軸上點a，b，c，d表示的數中，表示互為相反數的兩個點是 a 點a和點c b 點b和點c c 點a和點d d 點b和點d 2 若 0，則等於 a 2 2 b 2 c 2 2 d 2 2 3 已知互為相反數，互為倒數，的絕對值為1，是數軸到原點距離為1的數，那麼的值是 a 3 b 2 ...
才有理數有理數零正有理數有理數零負有理數
第二章才有理數 一 有理數的意義 2 1 正數和負數 一 知識點 1 像5 8 2.4 等大於0的數叫正數。像 1 5.2 7 等在正數前面加上 號的數叫負數。2 0既不是正數，也不是負數。3正整數 整數 0 負整數 有理數零 正分數分數 負分數正整數 正有理數 正分數有理數零 負整數負有理數 負分...
《有理數》專題練習
一 填空題 1 相反數等於本身的數是 2 倒數等於本身的數是 3 絕對值等於本身的數是 4 平方等於本身的數是 5 最大的負整數是最小的正整數是 二 選擇題 1 兩個有理數的商為正數，則 a 它們的和為正數b 它們的積為正數 c 它們的符號可能不同d 至少有乙個數是正數2 如果兩個數的和是乙個正數，...