初三數學課外輔導系列講座（之一） 姓名00/09/20
課題：討論一元二次方程的整數根問題。
一、 直接求解法：
例1：設，已知時，；時，為偶數，
求證：方程的兩個根是整數根。
例2： 是什麼整數時，方程有兩個不相等的正整數根？
二、 利用判別式法：
例3：設為整數，，又方程
有兩個整數根，求的值及方程根。
例4：求滿足方程的所有整數解。
三、 利用韋達定理法：
例5：若為正整數，且一元二次方程的兩個根都是正
整數，則
例6：求所有實數，使方程的根都是整數。
四、 反客為主法：
例7：試求出所有這樣的正整數，使得二次方程
至少有乙個整數根。
例8：求使方程的兩個根都是整數的所有的正數的和。
5、利用整數的性質
例9：如果方程 （與都是整數）有整數根，則它的另一根必是下列判斷的
（a） 不是整數b） 是整數，但不能判斷奇數或偶數
（c） 是奇數d） 是偶數
例10：方程恰有兩個正整數根。則的值
是（a） 1 （bcd）
例11：設和為任意給定的整數。試證明方程和都沒有整數根。
練習： （1）方程的根是自然數。證明：是合數。
（2）要使方程有整數根，求整數、應滿足的條件，並求出這兩個整數根。
（3） 求使的方程有整數根的所有整數。
（4） 已知方程的兩個根都是整數，試求整數的值。
（5）試求所有這樣的整數，使得二次方程至少有乙個整數根。
初三數學課外輔導講座之二姓名
運籌問題）
1、 桌上放著1999根火柴，甲、乙兩個孩子輪流每次可取1，2或3根，規定誰能最後取完火柴，誰就獲勝，現甲先取，問誰有必勝的策略？他應該怎樣去玩這場遊戲？
2．現有一堆石子m粒，甲、乙兩個人輪流在其中取一粒或兩粒石子，規定能取
到最後一粒石子者取勝，問是先取的甲還是後取的乙有必勝的策略？怎樣取？
3．有兩堆石子，石子數分別為m粒、n粒，甲，乙兩人輪流在其中一堆中取任
意多粒，誰取得最後一粒誰就獲勝，問是先取的甲還是後取的乙有必勝的策
略？應該怎樣取？
4．現把m粒石子排成一排，甲、乙兩人輪流在其中取一粒或兩粒石子，但要保
證取兩粒時，這兩粒石子必須是原來相鄰的，問先取的甲還是後取的乙有必
勝的策略？怎樣取？
5．若把第4題中的條件變成：「把石子排成乙個圓圈」。結果怎樣呢？
6．甲、乙兩人在長20cm，寬10cm的長方形紙片上畫圓，要求畫出的圓滿足以
下兩人條件：（1）半徑不小於1cm。（2）後畫的圓與先畫的圓只能外切或外離，
誰能畫到最後乙個圓誰就獲勝，問是先畫的甲還是後畫的乙有必勝的策略？怎
樣畫？7．甲、乙兩人輪流在2，3，4，5，6，7， ，n中劃去乙個數，取後乙個剩兩個數，如果這兩個數互質，判甲勝，否則判乙勝。問是先劃的甲還是後的乙有必勝的策略？怎樣劃？
初三數學課外輔導系列講座之三姓名
容斥原理及其應用
一、 容斥原理：設集合a、b、c，用表示集合a中的元素的個數。屬於a的元素或者屬於b的元素的集合稱為集合a與集合b的並集，記著ab；
既屬於集合a又屬於集合b的元素的集合稱為集合a與集合b的交集，記著ab。則：
（1） （或）
（2）二、 應用舉例：
例1：在1000∽2000之間（包括1000和2000），能被4或6整除的數有多少個？
例2：某班統計了一次體育活動情況，其中打球的38人，練習跑步的37人，既打球又跑步的25人，求這個班參加活動的人數。
例3 ：某研究所共有研究人員91人，英，日，德三種外語中，每人至少懂得一種，其中懂英語的47人，懂日語的50人，懂德語的50人，懂得英、日兩種外語的有22人，懂得英、德外語的21人，懂得日、德兩種外語的有23人，問三種外語都懂的有幾人？
例4：求出1∽10000之間既不是完全平方數又不是完全立方數的那些整數的個數。
例5：求1∽200的自然數中，所有既不是2的倍數又不是3的倍數的整數之和。
例6：求前100個自然數中，所有非2、非3、非5、非7的倍數之個數。
例7：某中學共有學生220名，在一次期中考試中，數學、外語成績優良的分別有175名，140名，兩門成績都優良的有115名，問兩門都沒有達到優良的有多少名？
例8：某中學共有教師120名，其中教數學、外語、語文的分別有50、45、40名，其中有15名能教數學、外語，有10名能教數學、語文，有8名能教外語、語文，還有4名教師數、語、外都能教，問該校這三門課程都不能教的有多少名？
容斥原理應用第二講姓名
例1：50名學生面向老師站成一行，老師先讓大家從左到右按1，2，3，4，
┄┄ 依次報數，再讓報數是4的倍數的同學向後轉，接著又讓報數是6
的倍數的同學向後轉，問此時還有多少同學面向老師？
例2： n名學生面向老師站成一行，老師讓大家從左到右按1，2，3，┄┄ 依
次報數，再讓報數是4的倍數的同學向後轉，接著又讓報數是6的倍數的
同學向後轉，問（1）面向老師的同學還有多少？（2）其中面向老師的第
1997個（自左至右數）學生報數是幾？
例3：240名學生面向老師站成一行，老師讓大家從左自右按1，2，3，┄┄ 依
次報數，再讓報數是3的倍數的同學向後轉，接著又讓報數是5的倍數的
同學向後轉，接著又讓報數是7的倍數的同學向後轉，問（1）最後面向
老師的同學還有多少人？（2）其中面向老師的第66個（自左至右數）
同學報數是幾？
例4：在1到40這四十個自然數中，選一些數組成數集，使其中任何乙個數
不是另乙個數的2倍，那麼這個數集中最多有幾個數？
例5：某人同時寫了四封信及其對應的信封，問所有的信都裝錯了信封的情形有
多少種？
初三數學課外輔導系列講座之四姓名
函式的最值問題
一、 簡單分式函式的最值：]
1． 當變化時，的最小值是多少？
2． 設是正實數，則函式的最小值是多少？
3． 已知函式的最大值為4，最小值為，求的值。
4． 求的最大值，並指出此時的值。
二、 簡單的絕對值函式的最值：
5． 設是實數，，下列四個結論：① 沒有最大值；②只有乙個使取得最小值；③ 有有限個使取得最小值；④有無窮多個使取得最小值，其中正確的結論是：
abcd ①④
6、設，求的最小值。
三、 一次函式的最值、二次函式的最值：
7．（江蘇省無錫市）某童裝廠現在有甲種布料38公尺，乙種布料26公尺，現在計畫
用這兩種布料生產l、m兩種型號的童裝共50套。已知做一套l型號的童裝
需用甲種布料0。5公尺，乙種布料1公尺，可獲利45元；做一套m型號的童裝
需用甲種布料0。9公尺，乙種布料0。2公尺，可獲利用元。設生產l型號的童
裝套數為x，用這批布料生產這兩種型號的童裝所獲的利潤為y元。
（1） 寫出y（元）與x的函式關係式，並求出自變數x的取值範圍；
（2） 該廠在生產這批童裝中，當l型號的童裝為多少套時，能使該廠所獲
的利潤最大？最大利潤是多少？
8．某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間後，為了獲得更多的利
潤，商店決定提高銷售**。經試驗發現，若按每件20元的**銷售時，每
月能賣360件；若按每件25元銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數
y（件）是**x（元/件）的一次函式。
（1） 試求y與x之間的關係式；
（2） 在商品不積壓，且不考慮其它因素的條件下，問銷售**定為多少時，
才能使每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少（總利潤=總收入-
總成本）？
9．某商店如果把進價為8元的商品按每件10元**，每天銷售200件。現在採用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0。5元，其銷量減少10件，問應將銷售價定為多少時，可能使所賺利潤最大。
並求出最大利潤。
10．某旅社有客房120間，當每間房的日租金為50元時，每天都客滿。旅社裝修後要提高租金。經市場調查，如果一間客房日租增加5元，則客房每天出租數會減少6間。
不考慮其它因素，旅社將每間客房日租金提高多少時，客房的總收入最大？比裝修前客房日租金總收入增加多少元？
11．如圖：由沿河的城市a運貨物到離河岸30公里的地點b。按沿河的距離計
算，a離c的距離是40公里，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣從b
點築一條公路到河岸，才能使由a到b的運費為最少？
12．已知槓桿的支點o在它的一端，在距支點一公尺的p點處掛一重為490千克的物體，同時加力f於槓桿的另一端a，使槓桿保持平衡。若槓桿本身每公尺重為5千克，求槓桿為多長時所需的力f最小。
13．a市和b市分別有庫存某種機器12臺和6臺，現決定支援給c市10臺，d市8臺。已知從a市調運一台機器到c市、d市的費用分別為400元和800元；從b市調運一台機器到c市、d市的運費分別為300元和500元。
（1） 設b市運到c市機器x臺。求總運費w關於x之間的函式關係式。
（2） 若要求總運費不超過9000元，問共有幾種調運方案？
（3） 求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？
14．上表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤。某汽車公司計畫裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售（每輛汽車按規定滿載，並且每輛汽車只能裝一種蔬菜）
（1） 若用8輛汽車裝運乙、丙兩種蔬菜11噸到a地銷售，問裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛？
（2） 公司計畫用20輛汽車裝運甲、乙、丙三種蔬菜36噸到b地銷售（每種蔬菜不少於一車）。如何安排裝運，可使公司獲得最大利潤？最大利潤是多少？
四、 多元函式的最值：
15．已知均不小於0，且。
求的最小值。
16．如果多項式 。求的最小值。
17．已知，為二個實數，且滿足，求的最小值。
18．已知：a，b，c都是整數，abc=1990，求ab+bc+ac的最小值。
初中數學課外輔導計畫
新的學期已經開始，為了提高我所帶班級數學的教學質量，不讓每乙個學生掉隊，讓每個人切實學到文化科學知識，增強學生學習的自信心，增強克服困難的勇氣，找到開啟數學知識大門的鑰匙，特制定如下輔導計畫 一 指導思想 在新課程改革背景指導下，堅持學習先進的教育教學理念，堅持教為主導，學為主體，堅持學生為中心地位...
六1數學課外輔導總結
2013 2014學年第一學期 課外輔導工作總結 六一班李煥子 我認真做好課後輔導工作，嚴格要求學生，尊重學生，發揚教學民主，使學生學有所得，不斷提高，從而不斷提高自己的教學水平和思想覺悟，並順利完成教育教學任務。一 思想方面的培優補差。1.不歧視學習有困難的學生,不縱容優秀的學生,一視同仁。首先我...
三年級數學課外輔導計畫
一 指導思想 以新課程改革中 面向全體學生 必須使學生全體都獲得基本的數學知識素養 為目標，樹立 不讓乙個學生掉隊，不放棄任何乙個學生 的理念。關注每乙個學生的發展，尤其對班級內的學困生要特別重視，使他們得到逐步提高。二 具體輔導措施 1 通過和學生的交流，幫助學生認識學習數學重要性，激發學習動機，...