近幾年,平面向量數量積的最值問題頻頻出現在各地的高考卷上,成為高考中的乙個熱點問題,現以幾例具體闡述此類問題的解決途徑.
一、借助基本的向量運算降低問題難度
例1:(05年江蘇高考試題)在中,為中線上乙個動點,若,則的最小值是
分析:(如圖)本題的突破口關鍵在於為的中線,故易知
,所以:
從而把不共線向量數量積的問題轉化為共線向量數量積的問題.
解:為的中線
又例2:(04年湖北高考試題)在中, ,若長為的線段以點為中點,問與的夾角取何值時的值最大?並求出這個最大值.
分析:本題的突破口關鍵在於三點共線,從而聯想到把和作如下的分解:,分解之後,真可謂是海闊天空.
故: 解:
又當,即(與同向)時,取到最大值0.
二、建立直角座標系降低問題門檻
對於上述兩道高考試題,應用向量的基本運算把不共線的數量積問題轉化為共線的或者是易求的數量積問題,從而達到解決問題的目的.但是從純幾何的角度出發,對學生的思維層次要求較高,對於此類問題我們還可以借助建立直角座標系的方法,降低問題的難度.
例1:另解:以點為圓心,所在直線為軸,建立如圖所示的直角座標系.
設,則故的最小值為
例2:另解:以點為原點,邊所在直線為軸,建立如圖所示的直角座標系.
設,與的夾角為,則
當即(與同向)時,的最大值為
點評:通過建立適當的直角座標系,將向量的數量積座標化,從而轉化常見的求函式最值問題.讀者可以試著用上述的兩種方法來完成下面的練習.
練習:如圖,已知等邊的邊長為,又以為圓心,半徑為作圓,是直徑,試求
的最大值,並指明此時四邊形的形狀.
答案:的最大值為,此時四邊形為矩形.
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