海淀區高三年級第二學期期中練習
數學（理科）
2012.04
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）已知集合，，且，那麼的值可以是
（abcd）
（2）在等比數列中，，則=
（abcd）
（3）在極座標系中，過點且平行於極軸的直線的極座標方程是
（a） （b）
（c） （d）
（4）已知向量，若與垂直，則
（ab（c）2d）4
（5）執行如圖所示的程式框圖，輸出的值是
（a）4b）5
（c）6d）7
（6）從甲、乙等5個人中選出3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數是
（a）12b）24
（c）36d）48
（7）已知函式若，使得成立，則實數的取值範圍是
（ab）
（cd）或
（8）在正方體中，若點（異於點）是稜上一點，則滿足與所成的角為的點的個數為
（a）0b）3
（c）4d）6
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.
（9）複數在復平面內所對應的點在虛軸上，那麼實數
（10）過雙曲線的右焦點，且平行於經過
一、三象限的漸近線的直線方程是
（11）若，則
（12）設某商品的需求函式為，其中分別表示需求量和**，如果商品需求彈性大於1（其中，是的導數），則商品**的取值範圍是
（13）如圖，以的邊為直徑的半圓交於點，交於點，於點，，，那麼
（14）已知函式則
（ⅱ）給出下列三個命題：
①函式是偶函式；
②存在，使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形；
③存在，使得以點為頂點的四邊形為菱形.
其中，所有真命題的序號是
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）（本小題滿分13分）
在中，角，，的對邊分別為，且，， 成等差數列.
（ⅰ）若，，求的值；
（ⅱ）設，求的最大值.
(16)（本小題滿分14分）
在四稜錐中，//，，，平面，.
（ⅰ）設平面平面，求證：//；
（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．
(17)（本小題滿分13分）
某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），並將所得資料繪製成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的範圍是，樣本資料分組為，，，，.
（ⅰ）求直方圖中的值；
（ⅱ）如果上學所需時間不少於1小時的學生可申請在學校住宿，請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿；
（ⅲ）從學校的新生中任選4名學生，這4名學生中上學所需時間少於20分鐘的人數記為，求的分布列和數學期望.（以直方圖中新生上學所需時間少於20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少於20分鐘的概率）
(18)（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）是否存在實數，使得函式的極大值等於？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
(19)（本小題滿分13分）
在平面直角座標系中，橢圓的中心為座標原點，左焦點為， 為橢圓的上頂點，且.
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）已知直線：與橢圓交於，兩點，直線：（）與橢圓交於，兩點，且，如圖所示.
（ⅰ）證明：;
（ⅱ）求四邊形的面積的最大值.
(20)（本小題滿分14分）
對於集合m，定義函式對於兩個集合m，n，定義集合. 已知，.
（ⅰ）寫出和的值，並用列舉法寫出集合；
（ⅱ）用card(m)表示有限集合m所含元素的個數，求的最小值；
（ⅲ）有多少個集合對（p，q），滿足，且？
海淀區高三年級第二學期期中練習
數學（理科）
參***及評分標準2012．04
一. 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
（9101112
（13）6014） ①③
三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）因為成等差數列，
所以.因為，所以2分
因為，，，
所以5分
所以或（捨去6分
（ⅱ）因為，
所以10分
因為，所以.
所以當，即時，有最大值.
13分 (16)（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明： 因為//，平面，平面，
所以//平面2分
因為平面，平面平面，
所以4分
（ⅱ）證明：因為平面，，所以以為座標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角座標系，
則，，，.
5分所以 ，，
，所以，
.所以 ，.
因為 ，平面，
平面，所以平面
9分（ⅲ）解：設（其中），，直線與平面所成角為.
所以 .
所以 .
所以即.
所以11分
由（ⅱ）知平面的乙個法向量為.
12分因為 ，
所以 .
解得 .
所以14分
(17)（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）由直方圖可得：
.所以2分
（ⅱ）新生上學所需時間不少於1小時的頻率為：
4分因為，
所以600名新生中有72名學生可以申請住宿.
6分（ⅲ）的可能取值為0，1，2，3，47分
由直方圖可知，每位學生上學所需時間少於20分鐘的概率為，
,,.所以的分布列為：
12分.（或）
所以的數學期望為113分
(18)（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）的定義域為.
，即2分令，解得：或
當時，，故的單調遞增區間是.
3分當時，
，隨的變化情況如下：
所以，函式的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
5分當時，
，隨的變化情況如下：
所以，函式的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
7分（ⅱ）當時，的極大值等於. 理由如下：
當時，無極大值.
當時，的極大值為，
8分令，即解得或（舍）.
9分 當時，的極大值為.
10分因為
所以 .
因為 ，
所以的極大值不可能等於12分
綜上所述，當時，的極大值等於.
13分 (19)（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：設橢圓的標準方程為.
因為，，
所以.所以2分
所以橢圓的標準方程為3分
（ⅱ）設，，，.
（ⅰ）證明：由消去得：.
則，5分
所以.同理7分
因為 ,
所以 .
因為 ，
所以9分
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