北京市東城區2016-2017學年度第二學期高三綜合練習（一）
數學 （文科
本試卷共5頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項)
（1）如果，，那麼集合
a.空集b
cd.（2）某高校共有學生3000人，新進大一學生有800人．現對大學生社團活動情況進行抽樣調查，用分層抽樣方法在全校抽取300人，那麼應在大一抽取的人數為
a.200b.100c.80d.75
（3）如果，，，那麼三個數的大小關係是
ab.cd.
（4）如果過原點的直線與圓切於第二象限，那麼直線的方程是
ab.cd.
（5）設函式若，則實數的取值範圍是
ab.cd. ∪
（6） 「」是 「」的
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分且必要條件d.既不充分也不必要條件
（7）如果某四稜錐的三檢視如圖所示，那麼該四稜錐的四個側面中是直角三角形的有
a.b.
c.d.
（8）如果函式在定義域內存在區間，使在上的值域是，那麼稱為「倍增函式」．若函式為「倍增函式」，則實數的取值範圍是
abcd.
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)
（9）如果是純虛數，那麼實數 ．
（10）如果執行如圖所示的程式框圖，那麼輸出的___．
（11）如果直線l：與雙曲線的一條漸近線平
行，那麼= __ ．
（12）「墨子號」是由我國完全自主研製的世界上第一顆空間量子科學實驗衛星，於2023年8月16日發射公升空.「墨子號」的主要應用目標是通過衛星中轉實現可覆蓋全球的量子保密通訊.量子通訊是通過光子的偏振狀態，使用二進位制編碼，比如，碼元0對應光子偏振方向為水平或斜向下45度，碼元1對應光子偏振方向為垂直或斜向上45度.
如下圖所示
訊號發出後，我們在接收端將隨機選擇兩種編碼方式中的一種來解碼，比如，訊號傳送端如果按編碼方式1傳送，同時接收端按編碼方式1進行解碼，這時能夠完美解碼；訊號傳送端如果按編碼方式1傳送，同時接收端按編碼方式2進行解碼，這時無法獲取資訊.如果傳送端傳送乙個碼元，那麼接收端能夠完美解碼的概率是____；如果傳送端傳送3個碼元，那麼恰有兩個碼元無法獲取資訊的概率是____.
（13）已知中，，且，那麼
（14）已知甲、乙、丙三人組成考察小組，每個組員最多可以攜帶供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且計畫每天向沙漠深處走30公里，每個人都可以在沙漠中將部分水和食物交給其他人然後獨自返回. 若組員甲與其他兩個人合作，且要求三個人都能夠安全返回，則甲最遠能深入沙漠_________公里.
三、解答題(共6小題，共80分.答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程)
（15）（本小題13分）
已知點在函式的圖象上.
(ⅰ) 求的值和最小正週期；
(ⅱ) 求函式在上的單調減區間.
（16）（本小題13分）
已知數列是等差數列，前項和為，若．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若成等比數列，求的值．
（17）（本小題14分）
如圖，在四稜錐中，四邊形是平行四邊形， 且，,
平面.（）為稜的中點，求證：平面；
（）求證：平面平面；
() 若， ,求四稜錐的體積.
（18）（本小題13分）
某校學生在進行「南水北調工程對北京市民的影響」的專案式學習活動中，對某居民小區進行用水情況隨機抽樣調查，獲得了該小區400位居民某月的用水量資料（單位：立方公尺），整理得到如下資料分組及頻數分布表和頻率分布直方圖：
（ⅰ）求a,b的值；
（ⅱ）從該小區隨機選取一名住戶，試估計這名住戶乙個月用水量小於3立方公尺的概率；
（ⅲ）若小區人均月用水量低於某一標準，則稱該小區為「節水小區」.假設同組中的每個資料用該組區間的右端點值代替，經過估算，該小區未達到「節水小區」標準，而且該小區居民月用水量不高於這一標準的比例為65%，經過同學們的節水宣傳，三個月後，又進行一次同等規模的隨機抽樣調查，資料如右圖所示，估計這時小區是否達到「節水小區」的標準？並說明理由.
（19）（本小題13分）
已知橢圓的左右兩個焦點為，且，橢圓上一動點滿足．
（ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；
（ⅱ）如圖，過點作直線與橢圓交於點，過點作直線，且與橢圓交於點，與交於點，試求四邊形面積的最大值.
（20）（本小題14分）
設函式，．
(ⅰ)若是的極值點，求的值，並討論的單調性；
(ⅱ)已知函式，若在區間內有零點，求的取值範圍；
(ⅲ)設有兩個極值點，，試討論過兩點，的直線能否過點，若能，求的值；若不能，說明理由．
北京市東城區2016-2017學年第二學期高三綜合練習（一）
數學（文科）參***
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）d （2）c3）a4）b
（5）b （6）a7）d8）d
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（910）
（1112），
（1314）
注：兩個空的填空題第乙個空填對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解:(ⅰ) 點在函式的圖象上，..
6分(ⅱ)由,
得 ,
函式的單調減區間為
函式在上的單調減區間為
13分（16）（共13分）
解：（ⅰ）等差數列中，,..
數列的通項公式為.
6分（ⅱ）數列是等差數列, ,..
,，．成等比數列，．.
即，解得.
13分（17）（共14分）
解：（i） 因為是平行四邊形對角線交點，所以為中點
又為稜中點，所以
因為平面，平面，
所以平面5分
（ii） 因為，
所以 又，，
所以因為，
所以10分
（iii）因為是平行四邊形對角線交點，所以為中點
又，，可求得
因為，所以
所以14分
（18）（共13分）
解答：（ⅰ）由資料分組及頻數分布表可知，
4分（ⅱ）設這名住戶乙個月用水量小於3立方公尺為事件a，那麼
8分（ⅲ）因為該小區居民月用水量低於這一標準的比例為35%，
所以由圖可知,
小區人均月用水量低於立方公尺，則稱為「節水小區10分
由圖可知，三個月後的該小區人均月用水量為
所以三個月後該小區達到了「節水小區」標準13分
（19）（共13分）
解：（ⅰ）由已知， ，解得.
所以橢圓的標準方程為，離心率4分
（ⅱ）由題意可知，由此可求得
所以點軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓，顯然點在橢圓的內部
所以當直線一條為橢圓的長軸，一條與軸垂直時，例如為長軸，時
把代入橢圓方程，可求得，由此，又
所以此時
當直線的斜率都存在時，
設直線，設
聯立消去可得
所以同理，由可求得
綜上，四邊形面積的最大值為，此時直線一條為橢圓的長軸，一條與軸垂直.
……………………13分
（20）（共14分）
解析：(ⅰ) 由求得
，代入令得，時，，單調遞增；
時，，單調遞減．
4分(ⅱ) 由
求得時，當時，恆成立，單調遞增，又
此時在區間內沒有零點；
當時，當時，，單調遞增；
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