上海市黃浦區2018屆高三二模數學試卷
2018.04
一. 填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）
1. 已知集合，若，則非零實數的數值是
2. 不等式的解集是
3. 若函式是偶函式，則該函式的定義域是
4. 已知的三內角所對的邊長分別為，若，則內角的大小是
5. 已知向量在向量方向上的投影為，且，則=
（結果用數值表示）
6. 方程的解
7. 已知函式，則函式的單調遞增區間是
8. 已知是實係數一元二次方程的乙個虛數根，且，則實數的取值範圍是
9. 已知某市a社群35歲至45歲的居民有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至
65歲的居民有900人．為了解該社群35歲至65歲居民的身體健康狀況，社群負責人採用
分層抽樣技術抽取若干人進行體檢調查，若從46歲至55歲的居民中隨機抽取了50人，試
問這次抽樣調查抽取的人數是人
10. 將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲5次，則恰好有3次出現正面向上的概率是
（結果用數值表示）
11. 已知數列是共有個項的有限數列，且滿足，若
，，，則
12. 已知函式對任意恒有成立，則代數式的最小值是
二. 選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）
13. 空間中，「直線平面」是「直線與平面內無窮多條直線都垂直」的（ ）
a. 充分非必要條件b. 必要非充分條件
c. 充要條件d. 既非充分也非必要
14. 二項式的展開式中，其中是有理項的項數共有（ ）
a. 4項b. 7項c. 5項d. 6項
15. 實數滿足約束條件，則目標函式最大值是（ ）
a. 0b. 1cd. 3
16. 在給出的下列命題中，是假命題的是（ ）
a. 設是同一平面上四個不同的點，若，則點必共線
b. 若向量是平面上的兩個不平行的向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的
c. 已知平面向量、、滿足，
且，則是等邊三角形
d. 在平面上的所有向量中，不存在這樣的四個互不相等的非零向量、、、，
使得其中任意兩個向量的和向量與餘下兩個向量的和向量相互垂直
三. 解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在四稜錐p-abcd中，，ab⊥ad，bc∥ad，，，.
（1）畫出四稜錐p-abcd的主檢視；
（2）若，求直線pb與平面pcd
所成角的大小. （結果用反三角函式值表示）
18. 某企業欲做乙個介紹企業發展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環麵（由扇形oad挖去扇形obc後構成的）. 已知公尺，公尺，，線段ba、線段cd與弧bc、弧ad的長度之和為30公尺，圓心角為弧度.
（1）求關於的函式解析式；
（2）記銘牌的截面面積為，試問取何值時，
的值最大？並求出最大值
19. 已知動點到點的距離為，動點到直線的距離為，且.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作直線交曲線c於p、q兩點，若△opq的面積(是座標系原點)，求直線的方程.
20. 已知函式
（1）求函式的反函式；
（2）試問：函式的影象上是否存在關於座標原點對稱的點，若存在，求出這些點的座標；若不存在，說明理由；
（3）若方程的三個實數根滿足，且，求實數的值.
21. 定義：若數列和滿足，，且，，則稱數
列是數列的「伴隨數列」.已知數列是的伴隨數列，解答下列問題：
（1）若，，求數列的通項公式；
（2）若，為常數，求證：數列是等差數列；
（3）若，數列是等比數列，求、的數值.
參***
一. 填空題
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9．
10． 11． 12．
二. 選擇題
13. a14. b15. d16. d
三. 解答題
17． 解：檢視如下：
（2）根據題意，可算得
又，按如圖所示建立空間直角座標系
可得，.
於是，有.
設平面的法向量為，則即
令，可得，故平面的乙個法向量為
設直線與平面所成角的大小為，則.
所以直線與平面所成角的大小為
18．解：（1）根據題意，可算得弧()，弧
又，於是
所以（2）依據題意，可知
化簡，得
於是，當（滿足條件）時
答所以當公尺時銘牌的面積最大，且最大面積為平方公尺.
19．解：（1）結合題意，可得
又，於是，，化簡得
因此，所求動點的軌跡的方程是
（2）聯立方程組得.
設點，則
於是，弦，
點到直線的距離.由，
得，化簡得，
解得，且滿足，即都符合題意.
因此，所求直線的方程為
20． 解：（1）
當時，.
由，得，互換，可得.
當時，.
由，得，互換，可得.
（2）函式影象上存在兩點關於原點對稱.
設點是函式影象上關於原點對稱的點，
則，即解得，且滿足
因此，函式影象上存在點關於原點對稱.
（3）考察函式與函式的影象，可得
當時，有，原方程可化為，
解得，且由，得.
當時，有，原方程可化為，
化簡得，
解得（當時，）.
於是由，得，解得.
因為，故不符合題意，捨去；
，滿足條件.因此，所求實數.
21．解：（1）根據題意，有
由，，得，.
所以（2），，
∴，．∴數列是首項為、公差為的等差數列
（3），，
由，得是等比數列，且，設公比為，則.
∴當，即，與矛盾．因此，不成立
當，即，與矛盾．因此，不成立.
，即數列是常數列，於是
. ，數列也是等比數列，設公比為，有.
可化為，
關於的一元二次方程有且僅有兩個非負實數根.
一方面， ()是方程的根；另一方面，
若，則無窮多個互不相等的都是該二次方程的根.這與該二次方程有且僅有兩個非負實數根矛盾！
，即數列也是常數列，於是
由，得.
把，代入解得
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