2015屆普陀區高三二模數學試卷（文科）2015.04
一、填空題（共14題，每題4分，滿分56分）
1.若（為虛數單位），則實數
2.若函式的最小正週期為，則
3. 集合，則
4. 若，則函式的單調遞減區間為
5.直線與的夾角的大小為結果用反三角函式表示）
6.如圖，若，，則以為長半軸，為短半軸，為左焦點的橢圓的標準方程為
7.函式，若函式是偶函式，則
8.若非負實數滿足，則的最小值為
9.乙個底面置於水平面的圓錐，若主檢視是邊長為2的正三角形，則圓錐的側面積為
10.如圖，機車甲、乙分別停在處，且，甲的速度為4千公尺/小時，乙的速度是甲的，甲沿北偏東的方向移動，乙沿正北方向移動，若兩者同時移動100分鐘，則它們之間的距離為千公尺.
11.乙個袋子中有7個除顏色外完全相同的小球，其中5個紅色，2個黑色.經過充分混合後，從袋中隨機地取出2個小球.則至少有乙個黑球的概率為結果用最簡分數作答）.
12.若正方形的邊長為1，且則 .
13.已知複數滿足，，，若，則在復平面上對應的點組成的圖形的面積為 .
14. ，用記號表示不小於實數的最小整數，例如，，；則函式的所有零點之和為 .
二、選擇題（共4題，每題5分，滿分20分）
15. 表示直線，表示平面，下列命題正確的是（ ）
a.若，，則 b. 若⊥，⊥，則⊥
c. 若⊥，⊥，則 d.若⊥，⊥，則
16.」直線與拋物線相切」是「直線與拋物線只有乙個公共點」的（ ）
a.充分非必要條件 b.必要非充分條件
c.充要條件d.非充分非必要條件
17. 在的展開式中，若第五項的係數與第三項的係數之比為56：3，則展開式中的常數項是（ ）
a.第2項 b.第3項 c.第4項 d.第5項
18.已知均為正整數，記為矩陣中第行、第列的元素，且，（其中，）；給出結論：①；②；③④若為常數，則.其中正確的個數是（ ）
a.0個 b.1個c.2個d.3個
三、解答題（本大題共5題，寫出必要的文字說明與步驟）
19.（本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分）
在正方體中，是稜的中點，四稜錐的體積為，求異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函式值表示）.
20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知函式，.
（1）若直線是函式的影象的一條對稱軸，求的值；
（2）若，求的值域.
21.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知函式的反函式為
（1）若，求實數的值；
（2）若關於的方程在區間內有解，求實數的取值範圍；
22.（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題5分）
如圖，射線所在的直線的方向向量分別為，，點在內，於，於；
（1）若，，求的值；
（2）若，的面積為，求的值；
（3）已知為常數，的中點為，且，當變化時，求的取值範圍.
23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知數列的前項和為，且，
（1）若，求數列的前項和；
（2）若，，求證：數列為等比數列，並求出其通項公式；
（3）記，若對任意的，恆成立，求實數的最大值.
2015屆普陀區高三二模數學試卷（文科）答案2015.04
一、填空題（共14題，每題4分，滿分56分）
1.若（為虛數單位），則實數 .
2.若函式的最小正週期為，則 2 .
3. 集合，則 .
4. 若，則函式的單調遞減區間為 .
5.直線與的夾角的大小為.（結果用反三角函式表示）
6.如圖，若，，則以為長半軸，為短半軸，為左焦點的橢圓的標準方程為
7.函式，若函式是偶函式，則 1 .
8.若非負實數滿足，則的最小值為 .
9.乙個底面置於水平面的圓錐，若主檢視是邊長為2的正三角形，則圓錐的側面積為 .
10.如圖，機車甲、乙分別停在處，且，甲的速度為4千公尺/小時，乙的速度是甲的，甲沿北偏東的方向移動，乙沿正北方向移動，若兩者同時移動100分鐘，則它們之間的距離為千公尺.
11.乙個袋子中有7個除顏色外完全相同的小球，其中5個紅色，2個黑色.經過充分混合後，從袋中隨機地取出2個小球.則至少有乙個黑球的概率為 （結果用最簡分數作答）.
12.若正方形的邊長為1，且則 5 .
13.已知複數滿足，，，若，則在復平面上對應的點組成的圖形的面積為 .
14. ，用記號表示不小於實數的最小整數，例如，，；則函式的所有零點之和為 .
二、選擇題（共4題，每題5分，滿分20分）
15. 表示直線，表示平面，下列命題正確的是（ d ）
a.若，，則 b. 若⊥，⊥，則⊥
c. 若⊥，⊥，則 d.若⊥，⊥，則
16.」直線與拋物線相切」是「直線與拋物線只有乙個公共點」的（ a ）
a.充分非必要條件 b.必要非充分條件
c.充要條件d.非充分非必要條件
17. 在的展開式中，若第五項的係數與第三項的係數之比為56：3，則展開式中的常數項是（ b ）
a.第2項 b.第3項 c.第4項 d.第5項
18.已知均為正整數，記為矩陣中第行、第列的元素，且，（其中，）；給出結論：①；②；③④若為常數，則.其中正確的個數是（ b ）
a.0個 b.1個c.2個d.3個
三、解答題（本大題共5題，寫出必要的文字說明與步驟）
19.（本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分）
在正方體中，是稜的中點，四稜錐的體積為，求異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函式值表示）.
解：直線與所成的角的大小為.
20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知函式，.
（1）若直線是函式的影象的一條對稱軸，求的值；
（2）若，求的值域.
解：（1），
其對稱軸為
，因為直線線是函式的影象的一條對稱軸，
所以，又因為，所以
即.(2)由（1）得
所以的值域為.
21.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知函式的反函式為
（1）若，求實數的值；
（2）若關於的方程在區間內有解，求實數的取值範圍；
解：（1）
（2）.
22.（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題5分）
如圖，射線所在的直線的方向向量分別為，，點在內，於，於；
（1）若，，求的值；
（2）若，的面積為，求的值；
（3）已知為常數，的中點為，且，當變化時，求的取值範圍.
解：（1）；
（2）；
（3）設，，
設直線的傾斜角為，則，根據題意得
代入化簡得動點軌跡方程為.
當且僅當時，取得最小值.
所以，的取值範圍是.
23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知數列的前項和為，且，
（1）若，求數列的前項和；
（2）若，，求證：數列為等比數列，並求出其通項公式；
（3）記，若對任意的，恆成立，求實數的最大值.
解：（1）
(2)由
代入得，當時，，
因為，代入上式整理得，
所以的常數.
當時，所以數列是等比數列，首項為，公比為，其通項公式為
（3）由（2）得，它是個單調遞減的數列，
所以對任意的，恆成立，所以.
由知，所以數列是單調遞增的，最小值為，
因此，實數的取值範圍是,的最大值為0.
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