石景山區2018—2019學年第一學期高三期末試卷
數學（理）
本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結束後上交答題卡．
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15. （本小題13分）
函式的部分圖象如圖所示.
（ⅰ）求的最小正週期及解析式；
（ⅱ）設，求函式在區間上的最小值.
16. （本小題13分）
年月，某校高一年級新入學有名學生，其中名男生，名女生．學校計畫為家遠的高一新生提供間男生宿舍和間女生宿舍，每間宿舍可住2名同學．
該校「數學與統計」社團的同學為了解全體高一學生家庭居住地與學校的距離情況，按照性別進行分層抽樣，其中共抽取40名男生家庭居住地與學校的距離資料（單位：）如下：
（ⅰ）根據以上樣本資料推斷，若男生甲家庭居住地與學校距離為，他是否能住宿？說明理由；
（ⅱ）通過計算得到男生樣本資料平均值為，女生樣本資料平均值為，求所有樣本資料的平均值；
（ⅲ）已知能夠住宿的女生中有一對雙胞胎，如果隨機分配宿舍，求雙胞胎姐妹被分到
同一宿舍的概率．
17. （本小題14分）
如圖，在中，．可以通過以直線為軸旋轉得到，且，動點在斜邊上．
（ⅰ）求證：平面平面；
（ⅱ）當為的中點時，求二面角的余弦值；
（ⅲ）求與平面所成的角中最大角的正弦值．
18. （本小題14分）
已知拋物線經過點，其焦點為．為拋物線上除了原點外的任一點，過的直線與軸，軸分別交於．
（ⅰ）求拋物線的方程以及焦點座標；
（ⅱ）若與的面積相等，求證：直線是拋物線的切線．
19. （本小題13分）
已知函式．
（ⅰ）當時，求在處的切線方程；
（ⅱ）當時，若有極小值，求實數的取值範圍．
20.（本小題13分）
將1至這個自然數隨機填入方格的個方格中，每個方格恰填乙個數（）．對於同行或同列的每一對數，都計算較大數與較小數的比值，在這個比值中的最小值，稱為這一填數法的「特徵值」．
（ⅰ）若，請寫出一種填數法，並計算此填數法的「特徵值」；
（ⅱ）當時，請寫出一種填數法，使得此填數法的「特徵值」為；
（ⅲ）求證：對任意乙個填數法，其「特徵值」不大於．
石景山區2018-2019學年第一學期高三期末
數學（理）試卷答案及評分參考
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．
9．； 1011．；
12．；（答案不唯一） 13.； 14.，．
三、解答題：本大題共6個小題，共80分．解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題13分）
解：（ⅰ）由圖可得
所以當時，，可得，
（ⅱ）當，即時，有最小值為
16.（本小題13分）
解：（ⅰ）能住宿.
因為200名男生中有10名男生能住宿，
所以40名男生樣本中有2名男生能住宿。
樣本資料中距離為8.4km和8km的男生可以住宿，距離為7.5km以下的男生不可以住宿，
由於8.3 >8，所以男生甲能住宿
（ⅱ）根據分層抽樣的原則，抽取女生樣本數為32人.
所有樣本資料平均值為
（ⅲ）解法一：記住宿的雙胞胎為，其他住宿女生為.
考慮的室友，共有七種情況，
所以雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率為.
解法二：設「雙胞胎姐妹被分到同一宿舍」為事件，
則.所以雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率為
17.（本小題14分）
（ⅰ）證明：在中，，
∵，且，
∴平面又平面，
∴平面平面．
（ⅱ）解：如圖建立空間直角座標系，
為的中點，
設為平面的法向量，
∴即令，則，
∴是平面的乙個法向量
設為平面的法向量，
∴即令，則，，
∴是平面的乙個法向量
∴，∴二面角的余弦值為
（ⅲ）解法一:∵平面，
∴為與平面所成的角，
∵，∴點到直線的距離最小時，的正弦值最大，
即當時，的正弦值最大，
此時，∴，
∴．解法二：設，所以
．平面的法向量，
所以所以當時，與平面所成的角最大，．
18.（本小題14分）
解：（ⅰ）因為拋物線經過點，
所以，．
所以拋物線的方程為，焦點點座標為
（ⅱ）因為與的面積相等，
所以，所以為的中點
設，則所以直線的方程為
與拋物線聯立得：，
所以直線是拋物線的切線
19.（本小題13分）
解：（ⅰ）當時
所以在處的切線方程為
（ⅱ）有極小值函式有左負右正的變號零點.
令，則令，解得.
的變化情況如下表：
1 若，即，則，所以不存在變號零點，不合題意.
2 若，即時，，.
所以，使得；
且當時，，當時，.
所以當時，的變化情況如下表：
所以20.（本題13分）
解（ⅱ）
（前兩問答案不唯一，請酌情給分）
（ⅲ）不妨設a為任意乙個填數法，記此填數法的「特徵值」為,
考慮含n+1個元素的集合，
易知其中必有至少兩個數處於同一行，設為
也必有至少兩個數處於同一列，設為.
①若則有（因為）.
②若，即，
則，．所以.
即不論何種情況，總有13分
【若有不同解法，請酌情給分】
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