第十章 10.6 第6課時
一、選擇題
1．如圖為一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為( )
ab.cd．1－
答案 d
解析 s扇形＝πr2＝π，s△＝×2×2＝2，s陰影＝s扇形－s△＝π－2.由幾何概型概率公式得黃豆落在陰影部分的概率p＝＝1－.
2．在集合內任取乙個元素，能使不等式＋－1≤0成立的概率為( )
ab.cd.
答案 a
解析集合在直角座標系中表示的區域是乙個由直線x＝0，x＝5，y＝0，y＝4所圍成的長為5、寬為4的矩形，而不等式＋－1≤0和集合表示區域的公共部分是以5為底、2為高的乙個直角三角形，由幾何概型公式可以求得概率為＝.
3.如右圖，在乙個長為π，寬為2的矩形oabc內，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成的如圖所示的陰影部分，向矩形oabc內隨機投一點(該點落在矩形oabc內任何一點是等可能 )，則所投的點落在陰影部分的概率是( )
ab. [**:學科網]
cd.答案 a
解析 s矩形oabc＝2π，s陰影＝sinxdx＝2，
由幾何概型概率公式得p＝＝.
4．已知函式f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，記函式f(x)滿足條件為事件a，則事件a發生的概率為( )
a. b.
c. d.
答案 c
解析由題意知，事件a所對應的線性約束條件為，其對應的可行域如圖中陰影部分所示，所以事件a的概率p(a)＝＝，選c.
5．已知實數a滿足－3a．p1>p2b．p1＝p2
c．p1答案 c
解析若f(x)的值域為r，則δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.
故p1＝＋＝.
若f(x)的定義域為r，則δ2＝a2－4<0，得－2故p2＝.∴p1二、填空題
6．函式f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那麼任取一點x0使f(x0)≤0的概率為________．
答案 0.3
解析如圖，在[－5,5]上函式的圖象與x軸交於兩點(－1,0)，(2,0)，而x0∈[－1,2]，那麼f(x0)≤0.
[**:學科網zxxk]
所以p＝＝＝0.3.
7．在區間(0,2)內任取兩數m，n(m≠n)，則橢圓＋＝1的離心率大於的概率為________．
答案 解析如圖，m，n的取值在邊長為2的正方形中．
當m>n時，橢圓離心率e＝＝，
由e>，得m>2n.
同理，當m2m.
故滿足條件的m，n為圖中陰影部分．所求概率p＝＝.
8．已知關於x的一元二次函式f(x)＝ax2－4bx＋1.其中實數a、b滿足則函式y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函式的概率是________．
答案 分析這個概率就是函式y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函式時點(a，b)在已知區域中所占有的面積和已知區域的面積之比．
解析 函式f(x)＝ax2－4bx＋1在[1，＋∞)單調遞增的充要條件是≤1，即b≤.作出平面區域如圖所示，問題等價於向區域oab中任意擲點，點落在區域oac(其中點c的座標是(，))中的概率，這個概率值是＝.
9．已知菱形abcd的邊長為2，∠a＝30°，則該菱形內的點到菱形的頂點a，b的距離均不小於1的概率是________．
解析 如圖所示，只有當點位於圖中的空白區域時，其到a，b的距離才均不小於1，菱形的面積為2×2×sin30°＝2，兩個陰影部分的扇形面積之和恰好是乙個半徑為1的半圓，其面積為，故空白區域的面積為2－，所求的概率是＝＝1－.
10．在稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1內任取一點p，則點p到點a的距離小於等於a的概率為________．
解析滿足條件的點在半徑為a的球內，所以所求概率為p＝＝.
11．利用計算機在區間(0,1)上產生兩個隨機數a和b，則方程x＝－2a－有實根的概率為________．
答案 解析方程x＝－2a－即x2＋2ax＋ab＝0若方程有實根，則有δ＝4a2－4ab≥0，即b≤a，其所求概率可轉化為幾何概率，如圖，其概率等於陰影面積與正方形面積之比．∴p＝.
12．周長為定值的扇形oab，當其面積最大時，向其內任意擲一點，則點落在△oab內的概率是
答案 sin2
解析設扇形周長為m，半徑為r，則弧長l＝m－2r，扇形的面積是rl＝r(m－2r)≤·()2＝，當且僅當r＝時等號成立，此時扇形的弧長為，故此時扇形的圓心角為＝2弧度，點落在△oab內的概率是＝sin2.
三、解答題
13．甲、乙兩艘輪船駛向乙個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊的時間都是4小時 ，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；
(2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率．[**:學。科。網]
解析 (1)設甲、乙兩船到達時間分別為x、y，則0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.
作出區域
設「兩船無需等待碼頭空出」為事件a，
則p(a)＝＝.
(2)當甲船的停泊時間為4小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2或y－x>4，
設在上述條件時「兩船不需等待碼頭空出」為事件b，畫出區域
.p(b)＝
＝＝.14．已知關於x的一元二次函式f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)設集合p＝和q＝，分別從集合p和q中隨機取乙個數作為a和b，求函式y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函式的概率；
(2)設點(a，b)是區域內隨機點，求函式y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函式的概率．[**:z*xx*
解析 (1)∵函式f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區間[1，＋∞)上為增函式，
當且僅當a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，則b＝－1，
若a＝2，則b＝－1,1，[**:學#科#網z#x#x#k]
若a＝3，則b＝－1,1
∴事件包含基本事件的個數是1＋2＋2＝5.
∴所求事件的概率為＝.
(2)由(1)知當且僅當2b≤a且a>0時，函式f(x)＝ax2－4bx＋1在區間[1，＋∞)上為增函式，
依條件事知試驗的全部結果所構成的區域為
構成所求事件的區域為三角形部分．
由得交點座標為(，)．
∴所求事件的概率為p＝＝.
15．已知複數z＝x＋yi(x，y∈r)在復平面上對應的點為m.
(1)設集合p＝，q＝，從集合p中隨機抽取乙個數作為x，從集合q中隨機抽取乙個數作為y，求複數z為純虛數的概率；
(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點m落在不等式組：
所表示的平面區域內的概率．
解析 (1)記「複數z為純虛數」為事件a.
∵組成複數z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，.－2＋2i,0，i,2i，
且每種情況出現的可能性相等，屬於古典概型，
其中事件a包含的基本事件共2個：i,2i，
∴所求事件的概率為p(a)＝＝.
(2)依條件可知，點m均勻地分布在平面區域內，屬於幾何概型．該平面區域的圖形為右圖中矩形oabc圍成的區域，面積為s＝3×4＝12.
而所求事件構成的平面區域為
，其圖形如圖中的三角形oad(陰影部分)．
又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為a(3,0)、d(0，)，
∴三角形oad的面積為s1＝×3×＝.
∴所求事件的概率為p＝＝＝.
教師備選題
1．平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意平擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是( )
ab.cd.
答案 b
解析 如圖所示，這是長度型幾何概型問題，當硬幣中心落在陰影區域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為p＝.
2．將長為l的棒隨機折成3段，求3段構成的三角形的概率．
解析設a＝「3段構成三角形」x，y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l－x－y.
則試驗的全部結果可構成集合
ω＝．由圖可知，所求概率為
p(a)＝＝＝.
3．在區間[0,2]內任取兩個數a，b，那麼函式f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為________．
答案 解析依題意，方程x2＋ax＋b2＝0無零點，則有δ＝a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.在平面直角座標系aob內畫出不等式組 ①與 ②表示的平面區域，注意到不等式組①表示的平面區域的面積是4，不等式組②表示的平面區域的面積是22－×2×1＝3，因此所求的概率為.
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