第九章 9.6第6課時
一、選擇題
1．給定四條曲線：①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.其中與直線x＋y－＝0僅有乙個交點的曲線是( )
ab．②③④
cd．①③④
答案 d
2．直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關係為( )
a．相交b．相切
c．相離d．不確定
答案 a
解析 ∵直線方程可化為y－1＝k(x－1)．
恆過(1,1)定點，而(1,1)在橢圓內部，選a.
3．如圖，橢圓中心在座標原點，離心率為，f為橢圓左焦點，直線ab與fc交於d點，則∠bdc的正切值是( )
a．－3b．3－[**:z+xx+
c．3d．3＋
答案 a
解析 ∵e＝∴a＝2c
∵a2＝b2＋c2 ∴b＝c＝a
∴tan∠abo＝＝
tan∠dfb＝tan∠cfo＝＝
∴tan∠bdc＝－tan(∠abo＋∠dfb)
＝－＝－3，選a.
4．橢圓的焦點為f1，f2，過f1的最短弦pq的長為10，△pf2q的周長為36，則此橢圓的離心率為( )
a. b. c. d.
答案 c
解析 pq為過f1垂直於x軸的弦，
則q(－c，)，△pf2q的周長為36，
∴4a＝36，a＝9，
由已知＝5，即＝5，
又a＝9，解得c＝6，
解得＝，即e＝.
5．設直線l：2x＋y＋2＝0關於原點對稱的直線為l′.若l′與橢圓x2＋＝1的交點為a、b，點p為橢圓上的動點，則使△pab的面積為的點p的個數為( )
a．1b．2
c．3d．4
答案 b
解析由已知求得l′：2x＋y－2＝0與橢圓兩交點分別為長、短軸端點，其中a(0,2)，b(1,0)，∴|ab|＝.
∴頂點p到底邊ab的距離h＝＝.
設與直線l′平行且距離為的直線l″：
2x＋y＋c＝0(c≠－2)．
由兩平行直線間距離公式，得
d＝＝＝.
∴c＝－1或c＝－3.
兩平行線為2x＋y－1＝0,2x＋y－3＝0.
聯立①②
對於方程組①，δ1>0，直線與橢圓有兩個交點．對於方程組②，δ2<0，直線與橢圓無交點．
綜合知，滿足題意的點p有2個，如圖所示．
6．若ab是過橢圓＋＝1(a>b>0)中心的一條弦，m是橢圓上任意一點，且am、bm與座標軸不平行，kam、kbm分別表示直線am、bm的斜率，則kam·kbm＝( )
a．－ b．－ c．－ d．－
答案 b
解析解法一(直接法)：設a(x1，y1)，m(x0，y0)，
則b(－x1，－y1)，
則kam·kbm＝·＝
＝＝－.
解法二(特值法)：因為四個選項為確定值，取a(a,0)，b(－a,0)，m(0，b)，可得kam·kbm＝－.
二、填空題
7．過橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點f作弦ab，若|af|＝d1，|fb|＝d2，那麼＋的值為________．
答案 解析法一(特殊值法)：令弦ab與x軸垂直
d1＝d2＝，∴＋＝.
法二：設ab的方程為y＝k(x－c)
∴b2x2＋a2k2(x－c)2－a2b2＝0
∴(a2k2＋b2)x2－2a2k2cx＋a2k2c2－a2b2＝0
∴x1＋x2＝，x1·x2＝
∴＋＝＝＝.
8．若直線y＝kx＋1(k∈r)與焦點在x軸上的橢圓＋＝1恒有公共點，則t的範圍為
答案 [1,5)
9．以橢圓＋＝1內的點m(1,1)為中點的弦所在的直線方程是________．
答案 x＋4y－5＝0
解析 ∵由點差法知，從m(1,1)為中點弦的斜率k＝－·＝－.
∴弦的直線方程為y－1＝－(x－1)．
10.已知橢圓＋＝1(a>b>0)，以o為圓心，短半軸長為半徑作圓o，過橢圓的長軸的一端點p作圓o的兩條切線，切點為a、b，若四邊形paob為正方形，則橢圓的離心率為____．
答案 解析如圖，因為四邊形paob為正方形，且pa、pb為圓o的切線，所以△oap是等腰直角三角形，故a＝b，所以e＝＝.
11．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交於m、n兩點，原點o與線段mn的中點p連線的斜率為，則的值是________．
答案 解析由消去y，
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
則mn的中點p的座標為(，)，
∴kop＝＝.
三、解答題
12．已知橢圓＋y2＝1及點b(0，－2)，過左焦點f1與b的直線交橢圓於c、d兩點，f2為其右焦點，求△cdf2的面積．
解析 ∵f1＝(－1,0)
∴直線cd方程為y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0，而δ>0，
設c(x1，y1)，d(x2，y2)，
則|cd|＝，
∴|cd|＝＝.
f2到直線dc的距離d＝，
故s△cdf2＝|cd|·d＝.
13．在平面直角座標系xoy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點p和q.
(1)求k的取值範圍；
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為a、b，是否存在常數k，使得向量＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．[**
解析 (1)由已知條件，直線l的方程為
y＝kx＋，
代入橢圓方程得
＋(kx＋)2＝1，
整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0①
直線l與橢圓有兩個不同的交點p和q等價於
δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.即k的取值範圍為
(2)設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，
x1＋x2＝②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③
所以＋與ab共線等價於
x1＋x2＝－(y1＋y2)，
將②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數k.
14．已知橢圓c的中心在原點，對稱軸為座標軸，且過a(0,2)、b(，)．
(1)求橢圓c的方程；
(2)設過e(1,0)的直線l與c交於兩個不同點m、n，求·的取值範圍．
解析 (1)設橢圓c的方程為mx2＋ny2＝1，
由橢圓c過a(0,2)、b(，)得：
.∴橢圓c的方程為：8x2＋y2＝4.
(2)當過e(1,0)的直線l與x軸垂直時，l與曲線c無交點，不合題意，
∴設直線l的方程為：y＝k(x－1)，l與曲線c交於m(x1，y1)、n(x2，y2)，
由(8＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，
∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－x1－x2＋1＋y1y2＝x1x2－x1－x2＋1＋k2(x1x2－x1－x2＋1)＝(1＋k2)(－＋1)＝＝4－.
∵0≤k2<8，∴·的取值範圍是[，)．
15．設a、b是橢圓3x2＋y2＝λ上的兩點，點n(1,3)是弦ab的中點，弦ab的垂直平分線與橢圓相交於c、d兩點．
(1)求弦ab所在直線的方程，並確定λ的取值範圍；
(2)求以弦cd的中點m為圓心且與直線ab相切的圓的方程．
解 (1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有[**:學|科|網]
，整理得3(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
由題意知，x1≠x2，∴kab＝＝－.
∵n(1,3)是弦ab的中點，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝6，∴kab＝－1，∴弦ab所在直線的方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
又n(1,3)在橢圓內，∴λ>3×12＋32＝12，
∴λ的取值範圍是(12，＋∞)．
(2)∵弦cd垂直平分弦ab，∴弦cd所在直線的方程為y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，[**:z_xx_
將其代入橢圓的方程，整理得4x2＋4x＋4－λ＝0.①
設c(x3，y3)，d(x4，y4)，弦cd的中點為m(x0，y0)，則x3、x4是方程①的兩根，
∴x3＋x4＝－1，∴x0＝(x3＋x4)＝－，y0＝x0＋2＝，即m(－，)．
∴點m到直線ab的距離d＝＝，∴以弦cd的中點m為圓心且與直線ab相切的圓的方程為(x＋)2＋(y－)2＝.
拓展練習·自助餐
1．直線＋＝1與橢圓＋＝1相交於a、b兩點，橢圓上的點p使△abp的面積等於12，這樣的點p共有( )
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
答案 b
解析可求出|ab|＝5，設p(4cosθ，3sinθ)，
所以p點到ab的距離
d＝＝∴θ＝π或，所以這樣的點p有兩個．
2．橢圓＋＝1(a＞b＞0)與直線x＋y＝1交於p、q兩點，且op⊥oq，其中o為座標原點．
(1)求＋的值；
(2)若橢圓的離心率e滿足≤e≤，求橢圓長軸的取值範圍．
解析 (1)設p(x1，y1)，q(x2，y2)，由op⊥oqx1x2＋y1y2＝0，∵y1＝1－x1，y2＝1－x2，代入上式得：2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0①
又將y＝1－x代入＋＝1
(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
∵δ＞0，∴x1＋x2＝，
x1x2＝代入①代簡得＋＝2.
(2)∵e2＝＝1－∴≤1－≤≤≤，又由(1)知b2＝
∴≤≤≤ a2≤≤a≤，
∴長軸2a∈[，]．
3．在直角座標系xoy中，點p到兩點(0，－)、(0，)的距離之和等於4，設點p的軌跡為c，直線y＝kx＋1與c交於a，b兩點．
(ⅰ)寫出c的方程；
(ⅱ)若⊥，求k的值．
解析 (ⅰ)設p(x，y)，由橢圓定義可知，點p的軌跡c是以(0，－)，(0，)為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b＝＝1.
故曲線c的方程為x2＋＝1.
(ⅱ)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其座標滿足
消去y並整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
於是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0.
化簡得－4k2＋1＝0.所以k＝±
4．已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸乙個端點到右焦點的距離為.
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