2015廣東省高考理科數學a卷
肇慶一中徐炳林整理
一、選擇題（40分）
1、若集合，，則
a． b． c． d．
2、若複數（是虛數單位），則
a． b． c． d．
3、下列函式中，既不是奇函式，也不是偶函式的是
a． b． c． d．
4、袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個是白球，5個紅球。從袋中任取2個小球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為
a． b． c． d．
5、平行於直線且與圓相切的直線的方程是
a．或 b．或
c．或 d．或
6、若變數滿足約束條件，則的最小值為
a．4 b． c．6 d．
7、已知雙曲線的離心率，且其右焦點為，則雙曲線的方程為
a． b． c． d．
8、若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數的取值
a．至多等於3 b．至多等於4 c．等於5 d．大於5
二、填空題
9、在的展開式中，的係數為
10、在等差數列中，若，則
11、設的內角的對邊分別為，若，，，則______.
12、某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那麼全班共寫了______條畢業留言（用數字作答）。
13、已知隨機變數服從二項分布。若，，則_____。
（二）選做題（14－15題，考生只能從中選做一題）
14、（座標系與引數方程選做題）已知直線的極座標方程為，點的極座標為，則點到直線的距離為
15、（幾何證明選講選做題）如圖1，已知是圓的直徑，，是圓的切線，切點為，，過圓心作的平行線，分別交和於點和點，則
三、解答題：共6小題，滿分80分
16、（12分）在平面直角座標系中，已知向量，，。
（1）若，求的值；
（2）若與的夾角為，求的值。
17、（12分）
某工廠36名工人的年齡資料如下表：
（1）用系統抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段裡用隨機抽樣法抽到的年齡資料為44，列出樣本的年齡資料；
（2）計算（1）中樣本的均值和方差；
（3）36名工人中年齡在與之間有多少人？所佔的百分比是多少（精確到0.01%）？
18、（14分）如圖2，三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，，，。點是邊的中點，點，分別**段，上，且，。
（1）證明：；
（2）求二面角的正切值；
（3）求直線與直線所成角的余弦值。
19、（14分）
設，函式。
（1）求的單調區間；
（2）證明：在上僅有乙個零點；
（3）若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（是座標原點），證明：。
20、（14分）
已知過原點的動直線與圓相交於不同的兩點。
（1）求圓的圓心座標；
（2）求線段的中點的軌跡的方程；
（3）是否存在實數，使得直線與曲線只有乙個交點？若存在，求出的取值範圍；若不存在，說明理由。
21、（14分）
數列滿足：，。
（1）求的值；
（2）求數列的前項和；
（3）令，。證明：數列的前項和滿足。
參***：
一、選擇題
1、d；2、a；3、d；4、b；5、a；6、b；7、c；8、b；
二、填空題
9、6；10、10；11、1；12、1560；13、；14、；15、8
三、解答題
16、（1）；（2）；
17、（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37；
（2），
。（3）由（2）知，所以36工人年齡在之間共有23人，因此所佔的百分比為
18、（1）由題意知，三角形為等腰三角形，又是邊的中點
所以，又平面平面，且平面平面，平面
所以平面，
又平面，
所以（2）由（1）知，平面，又平面
所以又四邊形為長方形，所以又
所以平面，又平面
所以所以二面角的平面角即為。
在直角三角形中，，，
所以，所以。
（3）鏈結，
因為，，
所以，所以，
所以直線與直線所成角即為，
在中，，，，
所以。即直線與直線所成角的余弦值為。
19、解：（1）
所以函式的單調增區間為r，無單調減區間；
（2）由（1）知在r上單調增，因，，，
所以在內，
所以在函式有零點，又函式在r上單調增，所以在內函式有且只有乙個零點。
（3）設點座標為，則，
得，所以，即，
則，在點處的切線與直線平行，
則，則在點處的切線斜率為，
所以，設，
則，則當時，，單調增；當時，，單調減，所以時函式有最小值，所以即所以
所以，即。得證。
20、20、解：（1）由題意知：圓可化為
所以圓心座標為。
（2）設點為，則，，
又，所以，即，即
又點不在圓外部，所以，又，
所以，即，所以，又點滿足，
所以，所以線段的中點的軌跡的方程為（）。
（3）假設存在實數，使得直線與曲線只有乙個交點，做出影象，根據影象可知：
直線與曲線相切時，則曲線所以的圓的圓心到該直線的距離為，即
，解得當直線過兩圓的交點時，得
所以要使直線與曲線只有乙個交點，則，或。
21、（1）由已知，可得；，則；
，所以。
（2）由，得當時，
兩式相減，得，所以；
當時也符合，所以。所以。
（3）由，得；
當時，，則。
設則當時，，知函式單調減，
又因此當時，
即時，。
所以，，，…，，
相加得：
所以所以。
綜上，數列的前項和滿足。
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