主講教師：巫宇霞
【知識概述】
設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則
線線垂直：l⊥ma⊥ba·b=0；
線面垂直：l⊥αa //u a = ku；
面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.
【學前診斷】
1. [難度]易
已知空間四邊形中，，，求證：．
2． [難度]易
如圖，在四稜錐v-abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd．
證明：ab⊥平面vad．
3． [難度]中
正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是bb1、cd的中點，
求證：平面aed⊥平面a1fd1.
【經典例題】
例1. 如圖，在三稜錐p-abc中，pa⊥底面abc，pa=ab，∠abc=600，∠bca=900，點d，e分別在稜pb，pc上，且de∥bc.
求證：bc⊥平面pac.
例2． 在圓錐po中，已知，⊙o的直徑ab=2，c是ab弧的中點，d為ac的中點．
證明：平面平面pac．
例3． 如圖，在四稜錐中，平面，底面是菱形，，，當平面pbc與平面pdc垂直時，求pa的長.
例4. 如圖,已知平行六面體的底面abcd是菱形，且，當的值為多少時能使？請給出證明.
例5. 如圖，在三稜錐p-abc中，ab=ac，d為bc的中點，平面abc，垂足o落**段ad上，已知bc=8，po=4， ao=3，od=2，**段ap上是否存在點m，使得二面角a-mc-b為直二面角？若存在，求出am的長；若不存在，請說明理由.
【本課總結】
1.證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直.
2.證明線面垂直的方法：
①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；
②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直.
3.證明面面垂直的方法：
①轉化為線線垂直、線面垂直的處理；
②證明兩個平面的法向量互相垂直.
【活學活用】
1. [難度]易
如圖，已知正三稜柱的各稜長都是4，是的中點，動點在側稜上，且不與點重合．當=1時，求證：⊥.
2. [難度]中
如圖，在圓錐中，已知=，⊙o的直徑,是的中點，為的中點．證明：平面平面;
3． [難度]難
如圖，在四稜錐中，，底面是菱形，.
(ⅰ)求證：;
（ⅱ）若，求與所成角的余弦值；
（ⅲ）當平面與平面垂直時，求的長.
空間向量巧解平行 垂直關係
一 考點突破 二 重難點提示 重點 用向量方法判斷有關直線和平面的平行和垂直關係問題。難點 用向量語言證明立體幾何中有關平行和垂直關係的問題。考點一 直線的方向向量與平面的法向量 1.直線l上的向量a或與a共線的向量叫作直線l的方向向量。2.如果表示向量a的有向線段所在直線垂直於平面 則稱這個向量垂...
用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一 空間向量及其數量積 1 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標 x,y.表示，空間向量也可用座標 x,y,z 表示。若已知點a座標為 x1，y1，z1 點b座標為 x2，y2，z2 則向量 x2 x1，y2 y1，z2 ...
空間垂直關係的證明導學案
輝縣市第二高階中學王希成 一 學習目標 1 通過具體例項明確線面 面面垂直的判定與性質 2 結合綜合與分析的證明方法利用定理證明垂直。二 學習重點 線面垂直 面面垂直的判定定理與性質定理 三 學習難點 利用綜合 分析的方法證明垂直 四 學習過程 一 複習回顧 1.兩條直線垂直 1 定義 如果兩條直線...